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外参描述了相机在世界坐标系中的位置和朝向，即它将世界坐标转换为相机坐标的几何变换。具体来说，外参包括一个 旋转矩阵 $R$ 和一个 平移向量 $t$，它们共同构成了将世界坐标变换到相机坐标系的刚体变换。

1. 外参矩阵的定义

外参矩阵通常表示为一个 $3\times 4$ 的矩阵，形式如下：
$$\left[\begin{array}{cc}R& t\end{array}\right]$$
其中：

• $R$ 是一个 $3\times 3$ 的旋转矩阵，它描述了相机的朝向（姿态）。
• $t$ 是一个 $3\times 1$ 的平移向量，它描述了相机相对于世界坐标系的平移。

该矩阵的作用是将世界坐标系下的点 ${\mathbf{P}}_w=(X_w,Y_w,Z_w{)}^{\top }$ 转换为相机坐标系下的点 ${\mathbf{P}}_c=(X_c,Y_c,Z_c{)}^{\top }$：

$${\mathbf{P}}_c=R{\mathbf{P}}_w+t$$

可以将这个过程写成齐次坐标形式，方便描述：

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$

这其中的 $\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]$ 矩阵就是外参矩阵的扩展形式（齐次变换矩阵）。

2. 相机姿态推导

我们关心的是如何从外参矩阵 $\left[\begin{array}{cc}R& t\end{array}\right]$ 中推导出相机在世界坐标系中的姿态，即旋转和位置。

2.1 相机的位置

相机的世界坐标位置 $\mathbf{C}$ 是通过将相机坐标原点逆变换到世界坐标系中获得的。相机坐标系中的原点在相机坐标下是 ${\mathbf{P}}_c=(0,0,0{)}^{\top }$，因此有：
$$R\mathbf{C}+t=0$$
解得相机在世界坐标系中的位置为：
$$\mathbf{C}=-R^{-1}t$$
由于旋转矩阵 $R$ 是正交矩阵，所以 $R^{-1}=R^{\top }$，因此相机位置可以表示为：
$$\mathbf{C}=-R^{\top }t$$

2.2 相机的朝向（姿态）

相机的姿态由旋转矩阵 $R$ 表示，它将世界坐标系中的方向向量旋转到相机坐标系中。具体来说，旋转矩阵的列向量表示世界坐标系中基向量在相机坐标系中的方向。

因此，$R$ 描述了相机相对于世界坐标系的旋转。如果想得到相机在世界坐标系中的姿态，可以求 $R$ 的转置矩阵 $R^{\top }$，因为 $R$ 将世界坐标系变换到相机坐标系，而 $R^{\top }$ 则是反向变换，即从相机坐标系变回世界坐标系的旋转。

3. 具体步骤总结

要从外参推导相机在世界坐标系中的姿态，步骤如下：

1. 提取旋转矩阵 $R$：从外参矩阵 $P=\left[\begin{array}{cc}R& t\end{array}\right]$ 中提取前 $3\times 3$ 的部分 $R$，这就是旋转矩阵，表示相机的朝向。

2. 提取平移向量 $t$：从外参矩阵提取最后的 $3\times 1$ 部分 $t$，表示相机的平移。

3. 计算相机位置 $\mathbf{C}$：通过公式 $\mathbf{C}=-R^{\top }t$ 得到相机的世界坐标系中的位置。

4. 相机的朝向：旋转矩阵 $R$ 直接描述了世界坐标系如何转换到相机坐标系。如果需要相机在世界坐标系中的姿态（即从相机坐标系转换到世界坐标系），使用 $R^{\top }$ 作为反向旋转矩阵。

4. 示例

把前后左右四个相机用opencv viz模块绘制出来。

TEST(Demo, DemoOfCamera)
{Sentinel_Config sentinel_config = GetDefaultConfig();Camera2World front_camera2world(sentinel_config.front_yaml_path);Camera2World rear_camera2world(sentinel_config.rear_yaml_path);Camera2World left_camera2world(sentinel_config.left_yaml_path);Camera2World right_camera2world(sentinel_config.right_yaml_path);// visualize cameracv::viz::Viz3d window("Coordinate Frame");auto visualize_function = [&](Camera2World &camera2world, std::string widget_name){cv::Matx33d K = camera2world.camera_param.para_K;cv::Matx33d R = camera2world.camera_param.Rcw;cv::Vec3d T = camera2world.camera_param.Tcw;cv::Vec3d camera_position = -R.t() * T;cv::viz::WCameraPosition cam(0.5); // Coordinate axescv::viz::WCameraPosition cam_frustum(K, 0.5, cv::viz::Color::green()); // Camera frustumwindow.showWidget(widget_name, cam);window.showWidget(widget_name+" frustum", cam_frustum);// set the viewer posecv::Affine3d cam_pose(R.t(), camera_position);window.setWidgetPose(widget_name, cam_pose);window.setWidgetPose(widget_name+" frustum", cam_pose);};visualize_function(front_camera2world, "Front Camera");visualize_function(rear_camera2world, "Rear Camera");visualize_function(left_camera2world, "Left Camera");visualize_function(right_camera2world, "Right Camera");// visualize worldcv::viz::WCoordinateSystem world_coor(1.0);window.showWidget("World", world_coor);window.spin();}