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本文是将文章《线性可分支持向量机的原理推导》中的公式单独拿出来做一个详细的解析，便于初学者更好的理解。

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公式 9-32 是线性可分支持向量机（SVM）中的一个关键公式，用于表达线性分类超平面的位置。通过这个公式，我们可以确定支持向量机的分类边界，并通过分类器将正类样本与负类样本分隔开。

公式 9-32 的表达式为：
$$\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x_i\cdot x)+b^{\ast }=0$$

1. 公式的含义

公式 9-32 表示了支持向量机的分类超平面条件，描述了分类边界上的点的特征。这个公式的含义如下：

• ${\alpha }_i^{\ast }$：是第 $i$ 个样本点的最优拉格朗日乘子。只有 ${\alpha }_i^{\ast }>0$ 的点才会对分类超平面的构造产生实际影响，这些点被称为支持向量。
• $y_i$：是第 $i$ 个样本的类别标签，取值为 $+1$ 或 $-1$。
• $x_i$：是第 $i$ 个样本的特征向量。
• $x$：是任意待分类的点。
• $b^{\ast }$：是分类超平面的偏置，也称为截距。它定义了分类超平面在特征空间中的位置。
• $(x_i\cdot x)$：表示支持向量 $x_i$ 与待分类点 $x$ 的内积，反映了这两个点在特征空间中的相似性。

这个公式用于定义分类边界的点。对于位于分类超平面上的点，公式 9-32 的结果为 0，表示这些点恰好位于分类边界上。

2. 推导过程

公式 9-32 源于支持向量机的对偶问题的解。我们首先回顾一下支持向量机的目标是找到一个分类超平面：
$$w^{T}x+b=0$$

其中，法向量 $w$ 决定了超平面的方向，偏置 $b$ 决定了超平面的具体位置。

根据拉格朗日乘子法，法向量 $w$ 可以表示为所有支持向量的加权和：
$$w=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i{x}_i$$

将这个表达式代入分类超平面方程 $w^{T}x+b=0$ 中，得到：
$${\left(\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i{x}_i\right)}^{T}x+b^{\ast }=0$$

将内积展开，得到：
$$\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x_i\cdot x)+b^{\ast }=0$$

这个方程描述了位于分类超平面上的所有点的特征。因此，公式 9-32 表示分类边界上的点满足的条件。

3. 几何意义

几何上，公式 9-32 表示了支持向量机的分类超平面，它定义了将正类样本和负类样本分隔开的超平面。分类超平面的方程通过支持向量和待分类点的内积计算，确保分类器能够正确划分正类和负类样本。

• 支持向量的作用：分类超平面的构造是通过所有支持向量 $x_i$ 的加权和来决定的。拉格朗日乘子 ${\alpha }_i^{\ast }$ 的值决定了每个支持向量对超平面构造的贡献。
• 内积的作用：内积 $(x_i\cdot x)$ 表示支持向量 $x_i$ 和待分类点 $x$ 之间的相似性。相似度越高的点对分类边界的影响越大。

4. 物理解释

从物理角度看，公式 9-32 表示分类器如何根据支持向量的位置来决定分类超平面的位置。通过对所有支持向量的内积计算，分类器能够精确地确定分类超平面的位置。

• 分类超平面的位置：通过所有支持向量 $x_i$ 和它们的拉格朗日乘子 ${\alpha }_i^{\ast }$ 的加权和，分类器能够确定分类超平面的位置。偏置 $b^{\ast }$ 确保分类超平面不会偏向某一类，而是在特征空间中保持平衡。

• 支持向量之间的影响：支持向量之间的内积 $(x_i\cdot x)$ 反映了它们对分类边界的相对影响。支持向量 $x_i$ 对于待分类点 $x$ 的影响通过内积体现出来，从而决定了分类的结果。

5. 公式在 SVM 中的作用

公式 9-32 是支持向量机中用于定义分类超平面的关键公式之一。通过这个公式，我们可以描述分类器的超平面并决定哪些点位于超平面上，从而确定分类器的分类边界。

• 定义分类边界：公式 9-32 描述了分类超平面的方程。通过这个方程，我们可以判断哪些点位于分类边界上，并且确保分类器能够准确划分正类和负类样本。

• 构造分类器：有了分类超平面的方程后，分类器就可以用来对新样本进行分类。如果一个样本点满足公式 9-32，它就是位于分类边界上的点；否则，根据结果的符号可以判断它属于正类还是负类。

6. 分类决策函数

公式 9-32 还与支持向量机的分类决策函数相关联。分类决策函数 $f(x)$ 定义为：
$$f(x)=w^{T}x+b=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x_i\cdot x)+b^{\ast }$$

根据决策函数的符号，我们可以判断点 $x$ 的类别：

• 如果 $f(x)>0$，则 $x$ 被分类为正类（$y=+1$）。
• 如果 $f(x)<0$，则 $x$ 被分类为负类（$y=-1$）。
• 如果 $f(x)=0$，则 $x$ 恰好位于分类超平面上。

7. 总结

公式 9-32 表达了支持向量机的分类超平面的方程，用于确定分类器的决策边界。通过这个公式，我们可以描述位于分类超平面上的点，并利用内积来确定支持向量之间的相似性，从而构造出准确的分类超平面。