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矩阵的秩，即为矩阵的主元个数，它决定着矩阵关于$Ax=b$这个方程组到底有多少解。

下面便来具体分析这句话：

$$\begin{gathered} r：矩阵的秩 \\ A：m\times n大小的矩阵 \end{gathered}$$

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1. $r=m=n$

此时，矩阵消元过后可以简化表示为$[I]$，此时必定有一个解。

可以理解为$r$个$r$元的线性不相关方程必然有且仅有一个解。

也可以理解为给你了一个线性不相关的基底，必然能以唯一形式表达出空间上的一个向量。

2. $r=n<m$

此时的矩阵消元后，可以简化表示为$\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]$

当下面几行的参数能满足$0=b_n$时，情况便和第一种一样，有且仅有一个解。不满足的话就是无解。

3. $r=m<n$

此时的矩阵消元后，可以简化表示为$\left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]$

由于自由列的存在，给解了不确定性，所以这样的矩阵对应的方程总是有解且有无数个解的。

4.$r<m,r<n$

这样的矩阵消元后可表示为：$\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$

情况是综合2与3，不难得到，可能有0个解或者无数个解。