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1.锥（Cone）

定义：

在凸优化中，锥是指一个满足以下条件的集合 $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$：

• 对于任意 $x\in K$ 和非负实数 $\lambda \ge 0$，都有 $\lambda x\in K$。

也就是说，如果一个向量在锥中，那么其所有非负倍数也在锥中。

直观理解：

• 锥是一个对原点封闭的集合，包含所有沿某些方向延伸的非负倍数。
• 想象在空间中，一个以原点为顶点、向外无限延伸的“锥形”区域。

举例：

• 非负正交锥（Non-negative Orthant）：所有分量非负的向量组成的集合，即 K = { x ∈ R n ∣ x i ≥ 0 , ∀ i } K = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid x_i \geq 0, \forall i \} K={x∈Rn∣xi​≥0,∀i}。
• 零向量的锥：仅包含原点 { 0 } \{0\} {0} 的集合，也是一个锥。

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2.锥组合（Conic Combination）

定义：

给定一组向量 { x 1 , x 2 , … , x k } \{ x_1, x_2, \dots, x_k \} {x1​,x2​,…,xk​}，它们的锥组合是指所有形式为
$$y={\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2+\cdots +{\lambda }_k{x}_k$$
的向量，其中每个系数 ${\lambda }_i\ge 0$。

• 锥组合是使用非负系数对向量进行线性组合。
• 与凸组合不同的是，锥组合对系数之和没有限制，不要求系数之和为1。

举例：

• 单个向量的锥组合：对于一个向量 $x$，其锥组合是所有 $\lambda x$，其中 $\lambda \ge 0$。
• 两个向量的锥组合：若 $x_1$ 和$x_2$ 不共线，那么它们的锥组合填充了从原点开始、由 $x_1$ 和 $x_2$ 张成的平面内的一个扇形区域。

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3.锥包（Cone Hull）

定义：

给定一个点集 $S\subseteq {\mathbb{R}}^n$，其锥包（有时也称为生成锥）是所有 $S$​中点的锥组合构成的集合。表示为：
$$\text{cone}(S)=\left\{\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{x}_i\mid x_i\in S,{\lambda }_i\ge 0,k\in \mathbb{N}\right\}$$

• 锥包是包含 $S$ 并由 $S$ 生成的最小锥。
• 它是通过将 $S$ 中的向量进行非负缩放和相加所得到的所有向量的集合。

举例：

• 零向量的锥包：如果 S = { 0 } S = \{0\} S={0}，那么 cone ( S ) = { 0 } \text{cone}(S) = \{0\} cone(S)={0}。
• 标准基向量的锥包：取 $S$ 为标准基向量 $e_1,e_2,\dots ,e_n$，则 $\text{cone}(S)$是非负正交锥。

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形象化理解

1. 锥（Cone）
   • 想象手电筒的光束从原点发出，照亮前方的一片区域，这个区域就是一个锥。
   • 在二维空间中，锥可以看作是从原点开始、向某个方向无限延伸的角。
2. 锥组合（Conic Combination）
   • 你有多根箭头（向量），只能对它们进行非负的缩放和相加，不能改变方向（除非系数为零）。
   • 这类似于在做菜时，只能增加食材的量，不能减少或中和。
3. 锥包（Cone Hull）
   • 将所有可能的锥组合结果集合在一起，就得到了锥包。
   • 想象用 $S$ 中的向量作为“生成器”，构建出整个锥形结构。

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与其他组合方式的区别

• 线性组合：系数 ${\lambda }_i$ 可以是任意实数。
• 凸组合：系数 ${\lambda }_i\ge 0$，且 ${\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i=1$。
• 锥组合：系数${\lambda }_i\ge 0$，但对系数之和没有限制。

总结

• 锥是一个对于非负缩放封闭的集合。
• 锥组合是使用非负系数对向量进行的线性组合。
• 锥包是包含所有锥组合的集合，即由给定点集生成的最小锥。

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实例分析

例1：二维空间中的锥

• 设 S = { x 1 , x 2 } S = \{ x_1, x_2 \} S={x1​,x2​}，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是二维空间中不共线的向量。
• 它们的锥包 $\text{cone}(S)$ 是一个以原点为顶点的扇形区域，包含所有由 $x_1$ 和 $x_2$ 的非负组合得到的向量。

例2：非负正交锥

• 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，非负正交锥由所有分量非负的向量组成。
• 这是标准基向量的锥包，因为任何非负向量都可以表示为标准基向量的非负组合。