31.线性变换及对应矩阵

1. 线性变换

线性代数从线性变换开始，是线性代数的另外一个起点。很多物理学家并不关系坐标的值，而是关系从A坐标系到B坐标系的变化。他们希望知道如何去描述一个变化，而现在我们研究的就是通过矩阵来描述这一个线性变化。
每个线性变换都对应于一个矩阵，我们所学的零空间，行空间，行列式，特征值都来源于矩阵，但是在矩阵的背后就是线性变换的概念。

2. 特殊矩阵

2.1 投影矩阵

假设二维空间中有一个向量a,通过线性变换T(x)得到b，这种线性变换通常称为映射。
$$\begin{array}{c}T:a\in {\mathbb{R}}^2\to b\in {\mathbb{R}}^2\end{array}$$

• 假设我们有一个向量v,投影线性变换T(x),向量v经过投影线性变换后形成向量p,T(x)就像一个函数一样
  $$\begin{array}{c}p=T(v)\end{array}$$
  
• 线性变换的两个条件：
  $$\begin{array}{c}T(v+w)=T(v)+T(w);T(cv)=cT(v);T(cv+dw)=cT(v)+dT(w)\end{array}$$
• 对于投影矩阵来说，是一个线性变换，向量k倍长，投影向量也k倍长，向量反向，投影向量也反向；

2.2 平移矩阵

• 平面平移
  假设我们平面上有一个向量$v_0，2v_0$，需要平移$v$，分别得到$p_1,p_2$,不满足比例关系，故不是线性变换。
  $$\begin{array}{c}{p}_1=v+v_0;p_2=2v+v_0;\Rightarrow p_2\ne 2p_1\end{array}$$
  

2.3 旋转矩阵

我们希望有任意一个向量v，逆时针旋转$45°$后得到向量p
$$\begin{array}{c}p=T(v)\end{array}$$

可以证明，当向量v翻倍的时候，向量p也翻倍，当向量取负号的时候，向量p也去负号。我们可以将通过旋转矩阵的线性变换将任何点集都进行旋转，比如将如下图形进行旋转。

这种线性变换就相当于任意向量左乘以矩阵A,是不是跟前面的$Ax=b$联系起来了，真神奇！！每一个不同的矩阵A相当于一种线性变换。
$$\begin{array}{c}T(x)=Ax；T(w+v)=A(w+v);T(cv)=cAv=cT(v)\end{array}$$

2.4 三维转二维矩阵

我们希望将一个三维x,y,z坐标系上的点a经过线性变换为x,y平面上的b，可以构造矩阵A如下：
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 2\\ \\ 3\end{array}\right]\Rightarrow p=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\end{array}\right]x\end{array}$$

3. 基向量的线性变换

3.1 代数形式

• 首先我们看看对于向量$a_1,a_2$进行线性变换来说
  $$\begin{array}{c}{p}_1=T(a_1),p_2=T(a_2)\end{array}$$
  那我们可以看到，这一个线性变换其实也是对整个$a$向量空间所有的变量进行变换，这样我们知道，任意向量a是可以用向量 a 的基向量表示的，假设基向量为$e_1,e_2$
  $$\begin{array}{c}{a}_i=x_1{e}_1+x_2{e}_2\Rightarrow T(a_i)=T(x_1{e}_1+x_2{e}_2)=x_{1}T(e_1)+x_{2}T(e_1)\end{array}$$
• 由上述公式可以看出来，所谓的线性变换本质上是对基向量的变换。这样我们就可以在保留参数的情况下，通过改变基向量来得到同意的线性变换公式。找到统一的矩阵A。
• 用公式表示如下，假设v是由基向量组合二成
  $$\begin{array}{c}v=c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_n{v}_n\Rightarrow p=T(v)=T(c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_n{v}_n)\end{array}$$
  $$\begin{array}{c}p=T(c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_n{v}_n)=c_{1}T(v_1)+c_{2}T(v_2)+\cdots +c_{n}T(v_n)\end{array}$$
• 小结：
  $$\begin{array}{c}p=c_{1}T(v_1)+c_{2}T(v_2)+\cdots +c_{n}T(v_n)\end{array}$$
• 用矩阵形式代替线性变换$\Rightarrow T(x)=Ax$
  $$\begin{array}{c}p=c_{1}A{v}_1+c_{2}A{v}_2+\cdots +c_{n}A{v}_n\end{array}$$

3.2 矩阵形式

• 我们在给定输入V矩阵和输出W矩阵的情况下，如何找到线性变化矩阵A?
  假设输入n个分别为$v_1,v_2,\cdots ,v_n$个基向量，输出m个分别为$w_1,w_2,\cdots ,w_m$个基向量,我们希望用矩阵A来表示线性变换；我知道A的大小为m行n列，我们让 $v_1$ 线性变换得到$w_1$
  $$\begin{array}{c}T(v_1)=A{v}_1=a_1{w}_1+a_2{w}_2+\cdots +a_m{w}_m\end{array}$$
• 我们知道如果选取A的一行那么有n个，显然无法得到m个$w_i$，所以只能选择A的一列，所以整理上述公式可得：
  $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}T(v_1)=A{v}_1=a_{11}{w}_1+a_{21}{w}_2+\cdots +a_{m1}{w}_m\\ T(v_2)=A{v}_2=a_{12}{w}_1+a_{22}{w}_2+\cdots +a_{m2}{w}_m\\ ⋮\\ T(v_n)=A{v}_n=a_{1n}{w}_1+a_{2n}{w}_2+\cdots +a_{mn}{w}_m\end{array}\end{array}$$
• 整理上述可得：
  $$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{w}_1& w_2& \cdots & w_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & & & \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}T(v_1)\\ \\ T(v_2)\\ \\ ⋮\\ \\ T(v_n)\end{array}\right]\end{array}$$
  $$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{w}_1& w_2& \cdots & w_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & & & \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & & & \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ \\ v_2\\ \\ ⋮\\ \\ v_n\end{array}\right]\end{array}$$

4. 坐标

我们知道坐标来源于向量基，将一个点A可以用如下表示,坐标建立在标准基上的。
$$\begin{array}{c}A=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 2\\ \\ 3\end{array}\right]=1\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 1\\ \\ 0\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
对于矩阵来说，我们可以选择一组特征向量来作为矩阵的标准基，通常我们用长度为1的标准正交特征向量作为基，这样就方便计算了。

5. 求导

假设我们需要用矩阵的方式求解导数：
$$\begin{array}{c}y=c_1+c_{2}x+c_3{x}^2;a=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ \\ c_2\\ \\ c_3\end{array}\right];y^{\prime }=c_2+2c_{3}x;b=\left[\begin{array}{c}{c}_2\\ \\ 2c_3\end{array}\right]\end{array}$$

• 也就是说我们要把初始向量a,变成 b
  $$\begin{array}{c}A\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ \\ c_2\\ \\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_2\\ \\ 2c_3\end{array}\right]\end{array}$$
• 可以得到矩阵A为如下：是不是很神奇，一个求导的非线性计算，居然在矩阵面前变成了线性变换，仅仅用矩阵乘法就行了。
  $$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ & & \\ 0& 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ \\ c_2\\ \\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_2\\ \\ 2c_3\end{array}\right]\end{array}$$