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平面设计培训班价格_台州企业网站搭建价格_西藏自治区seo 标题 关键词优化_象山seo外包服务优化

2024/12/23 4:30:44 来源:https://blog.csdn.net/2302_81312180/article/details/142466134  浏览:    关键词:平面设计培训班价格_台州企业网站搭建价格_西藏自治区seo 标题 关键词优化_象山seo外包服务优化
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目录

1.算法的复杂度

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

2.2 大O的渐进表示法

2.3 常见的时间复杂度计算举例

实例1

实例2

实例3

实例4

实例5 

实例6

实例7

3. 面试题 

题目1:消失的数字

题目2:轮转数组


1.算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏,一般是从时间空间两个维度来衡量的,即时间复杂度空间复杂度。 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试,但是这很麻烦,所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度

即:找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式,就是算出了该算法的时间复杂度。

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次?

void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; ++i){for (int j = 0; j < N; ++j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数 :T(N)=N^2+2*N+10

  • N = 10      T(N) = 130
  • N = 100    T(N) = 10210
  • N = 1000  T(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时,我们其实并不一定要计算精确的执行次数,而只需要大概执行次数,那么这里我们使用大O的渐进表示法

2.2 大O的渐进表示法

 大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法:

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数

2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项

3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。     

使用大O的渐进表示法以后,Func1的时间复杂度为:O(N^2) 

  • N = 10       T(N) = 100
  • N = 100     T(N) = 10000
  • N = 1000   T(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项,简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:

  • 最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
  • 平均情况:任意输入规模的期望运行次数
  • 最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x

  • 最好情况:1次找到
  • 最坏情况:N次找到
  • 平均情况:N/2次找到

在实际中一般关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

如果我们想求某一个函数或者代码段运行的时间,我们可以借助clock函数

#include <stdio.h>
#include<time.h>
int main()
{long begin = clock();int n = 10000000;int x = 10;for (int i = 0; i < n; i++){++x;}long end = clock();printf("%d\n", x);printf("%ld毫秒\n", end - begin);return 0;
}

运行结果: 

 clock函数

函数返回从程序开始运行到clock()被调用所耗费的时间,创建两个变量分别在代码段的前面和代码段的后面(这两个变量可以用 clock_t类型来创建,但本质上clock_t就是一个typedef长整型),然后利用差值来求出这段代码运行的时间。需要包含头文件<time.h>,单位是毫秒。

2.3 常见的时间复杂度计算举例

实例1

计算Func2的时间复杂度

void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

Func2执行的基本操作次数:T(N)=2*N+10

Func2的时间复杂度为:O(N)

实例2

计算Func3的时间复杂度

void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N ; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

Func3执行的基本操作次数:T(N)= M+N

Func3的时间复杂度为:O(M+N)   或者 O(max(M,N))

                                       如果M远大于N,O(M)

                                       如果N远大于M,O(N)

实例3

计算Func4的时间复杂度

void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

Func2执行的基本操作次数:T(N)=100

Func2的时间复杂度为:O(1)    用常数1取代运行时间中的所有加法常数

实例4

计算strchr的时间复杂度

char *strchr(char *src, char c)
{	while( *src != '\0'){if( *src == c){return src;}src++;}return NULL;
}

最好:1次找到

最坏:N次找到

时间复杂度为:O(N)

实例5 

计算BubbleSort(冒泡排序)的时间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

执行的基本操作次数:T(N)=(N-1)*(1+N-1)/2=(N^2-N)/2

时间复杂度为:O(N^2) 

实例6

计算func的时间复杂度

void func(int n)
{int x = 0;for (int i = 1; i < n; i *= 2){++x;}printf("%d\n", x);
}
int main()
{func(8);func(1024);func(1024 * 1024);
}

1*2*2*2*2*2……*2=N

设循环走x次,x个2相乘,2^x=N---->x=log₂N

时间复杂度:O(log₂N),为了方便,可以省略底数2(其它底数不能省略),写作O(logN)。

实例7

计算Binary Search(二分查找)的时间复杂度

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n-1;// [begin, end]:begin和end是左闭右闭区间,因此有=号while (begin <= end){int mid = begin + ((end-begin)>>1);if (a[mid] < x)begin = mid+1;else if (a[mid] > x)end = mid-1;elsereturn mid;}return -1;
}

查找区间的变化:N-->N/2-->N/4-->N/8-->N/16-->……-->1(最坏情况)

N/2/2/2……/2=1,查找了多少次,就是除了多少次2

设查找了x次   N=2^x--->x=log₂N

时间复杂度:写作O(logN)


3. 面试题 

题目1:消失的数字

思路1:利用等差数列求0到N的和,再依次减去数组中的值,剩下的那个值就是消失的数字。

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int N=numsSize;//共有N+1项int ret=(0+N)*(N+1)/2;for(int i=0;i<numsSize;i++){ret-=nums[i];}return ret;
}

思路2:累积按位异或数组中所有的数字和 0~n 的数字,得到的结果就是那个消失的数字,用两个for循环来累积按位异或。

int missingNumber(int* nums, int numsSize) 
{int N = numsSize; int x=0;for(int i=0;i<N;i++){x^=nums[i];}for(int j=0;j<=N;j++){x^=j;}return x;
}

题目2:轮转数组

每个元素真实的旋转次数:K%=N;

每个元素旋转次数最坏情况:K%N=N-1;

                             最好情况:K%N=0;

旋转次数:N*(N-1);

时间复杂度:O(N^2);

思路1:利用循环每次移动一位

 

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {int N=numsSize;k%=N;while(k--){//旋转1次int tmp=nums[N-1];for(int i=N-2;i>=0;i--){nums[i+1]=nums[i];}nums[0]=tmp;  //不算赋值语句,准确来说旋转次数T(N)=(N-1)*(N-1) 代码时间复杂度为O(N^2)}
}

运行结果:

时间复杂度为O(N^2),代码不通过,那我们怎么解决这个问题呢?

思路2:我们采用三段逆置的方法,算法优化让程序的时间复杂度为O(N)【每个元素被翻转两次,共N个元素】

代码实现: 

void reverse(int* p,int left,int right)
{while(left<right){int tmp=p[left];p[left]=p[right];p[right]=tmp;left++;right--;}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {int len=numsSize;k%=len;//3段逆置reverse(nums,0,len-k-1);reverse(nums,len-k,len-1);reverse(nums,0,len-1);
}

思路3:额外创建一个新数组,先将数组后k个元素拷贝到新数组的正确位置,再将数组剩下的元素拷贝到新数组的正确位置,最后将新数组的内容拷贝到原数组,可以使用memcpy函数,也可以使用for循环。

代码实现: 

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {int len=numsSize;k%=len;int arr[len];  int i,j;//先把后半部分数组保存到新数组for(j=len-k,i=0;j<len;j++,i++){arr[i]=nums[j];}//再保存前半部分数组到新数组for(i=0;i<=len-k-1;i++){arr[k+i]=nums[i];}   //最后把新数组赋值给原数组for(i=0;i<len;i++){nums[i]=arr[i];}
}

总结:

常见的时间复杂度

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