1、前言
矩阵运算是指对矩阵的各种操作和运算，包括矩阵加法、矩阵减法、矩阵乘法、矩阵转置、求逆矩阵等。以下是常见的矩阵运算：
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矩阵加法：对应位置的元素相加，要求加数和被加数的维度相同。
A + B = | a11 b11 | + | a12 b12 | | a21 b21 | | a22 b22 |
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矩阵减法：对应位置的元素相减，要求减数和被减数的维度相同。
A - B = | a11 b11 | - | a12 b12 | | a21 b21 | | a22 b22 |
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矩阵乘法：按照行乘列的方式计算，要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
AB = A的行 * B的列
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矩阵转置：将矩阵的行与列进行交换，即将A的第i行第j列元素变为转置矩阵A^T的第j行第i列元素。
对于矩阵A，A^T表示其转置矩阵。
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矩阵求逆：对于方阵，如果其行列式不为0，则可以求其逆矩阵A^-1。
如果A是一个可逆矩阵，那么AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。
矩阵运算在线性代数、数值分析、工程计算等领域有广泛的应用。例如，在解线性方程组、特征值问题、最小二乘拟合、图像处理等方面都需要用到矩阵运算。熟练掌握矩阵运算的规则和性质对于理解和应用数学模型非常重要。
2、transpose, .' 转置向量或矩阵
语法
B = A.' 返回 A 的非共轭转置，即每个元素的行和列索引都会互换。
B = transpose(A) 是执行 A.' 的另一种方式，它可以为类启用运算符重载。
1）实矩阵转置
代码及运算
A = magic(5)
B = A.'A =17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9B =17 23 4 10 1124 5 6 12 181 7 13 19 258 14 20 21 215 16 22 3 92）复矩阵转置
代码及运算
A = [1 3 4-1i 2+2i; 0+1i 1-1i 5 6-1i]
B = A.'A =1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i 4.0000 - 1.0000i 2.0000 + 2.0000i0.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i 5.0000 + 0.0000i 6.0000 - 1.0000iB =1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 1.0000i3.0000 + 0.0000i 1.0000 - 1.0000i4.0000 - 1.0000i 5.0000 + 0.0000i2.0000 + 2.0000i 6.0000 - 1.0000i3、 ctranspose, ' 复共轭转置
语法
B = A' 计算 A 的复共轭转置。
B = ctranspose(A) 是执行 A' 的替代方法
1）实矩阵的共轭转置
代码及运算
A = [2 1; 9 7; 2 8; 3 5]
B = A'A =2 19 72 83 5B =2 9 2 31 7 8 52） 复矩阵的共轭转置
代码及运算
A = [0-1i 2+1i;4+2i 0-2i]
B = A'A =0.0000 - 1.0000i 2.0000 + 1.0000i4.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000iB =0.0000 + 1.0000i 4.0000 - 2.0000i2.0000 - 1.0000i 0.0000 + 2.0000i4、 mtimes, * 矩阵乘法
语法
C = A*B 是 A 和 B 的矩阵乘积。
C = mtimes(A,B) 是执行 A*B 这一操作的替代方法
1）将两个向量相乘
代码及运算
A = [1 1 0 0];
B = [1; 2; 3; 4];
C1 = A*B
C2 = B*AC1 =3C2 =1 1 0 02 2 0 03 3 0 04 4 0 02）将两个数组相乘
代码及运算
A = [1 3 5; 2 4 7];
B = [-5 8 11; 3 9 21; 4 0 8];
C = A*BC =24 35 11430 52 1625、 mpower, ^ 矩阵幂
语法
C = A^B 计算 A 的 B 次幂并将结果返回给 C。
C = mpower(A,B) 是执行 A^B 的替代方法，但很少使用。
1）方阵幂运算
代码及运算
A = [1 2; 3 4];
C = A^2C =7 1015 222）矩阵指数
代码及运算
B = [0 1; 1 0];
C = 2^BC =1.2500 0.75000.7500 1.25006、 sqrtm 矩阵平方根
语法
X = sqrtm(A) 返回矩阵 A 的主要平方根（即 X*X = A）。
[X,residual] = sqrtm(A) 还会返回残差 residual = norm(A-X^2,1)/norm(A,1)
[X,alpha,condx] = sqrtm(A) 以 1-范数形式返回稳定因子 alpha 和 X 的矩阵平方根条件数的估计值，即 condx。
1）差分算子的矩阵平方根
代码及运算
A = [5 -4 1 0 0; -4 6 -4 1 0; 1 -4 6 -4 1; 0 1 -4 6 -4; 0 0 1 -4 6]
X = sqrtm(A)A =5 -4 1 0 0-4 6 -4 1 01 -4 6 -4 10 1 -4 6 -40 0 1 -4 6X =2.0015 -0.9971 0.0042 0.0046 0.0032-0.9971 2.0062 -0.9904 0.0118 0.00940.0042 -0.9904 2.0171 -0.9746 0.02630.0046 0.0118 -0.9746 2.0503 -0.92000.0032 0.0094 0.0263 -0.9200 2.27002）具有多个平方根的矩阵
代码及运算
A = [7 10; 15 22];
Y1 = [1.5667 1.7408; 2.6112 4.1779];
A - Y1*Y1
Y2 = [1 2; 3 4];
A - Y2*Y2
Y = sqrtm(A)ans =1.0e-03 *-0.1258 -0.1997-0.2995 -0.4254ans =0 00 0Y =1.5667 1.74082.6112 4.1779
7、expm 矩阵指数
语法
Y = expm(X) 计算 X 的矩阵指数。
1）指数运算
代码及运算
A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
expm(A)ans =2.7183 1.7183 1.08620 1.0000 1.26420 0 0.36798、 logm 矩阵对数
语法
L = logm(A) 是 A 的主矩阵对数，即 expm(A) 的倒数。
1）矩阵对数
代码及运算
A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
P = logm(Y)P =-0.3504 0.92941.3940 1.04369、cross 叉积
语法
C = cross(A,B) 返回 A 和 B 的叉积。
C = cross(A,B,dim) 计算数组 A 和 B 沿维度 dim 的叉积。
1）向量的叉积
代码及运算
A = [4 -2 1];
B = [1 -1 3];
C = cross(A,B)C =-5 -11 -22）矩阵的叉积
代码及运算
A = randi(15,3,5)
B = randi(25,3,5)
C = cross(A,B)A =13 15 6 3 1011 1 12 8 115 7 12 7 12B =7 5 24 6 1317 3 9 19 1817 13 15 7 23C =102 -8 72 -77 37-186 -160 198 21 -74144 40 -234 9 3710、 dot 点积
语法
C = dot(A,B) 返回 A 和 B 的标量点积。
C = dot(A,B,dim) 计算 A 和 B 沿维度 dim 的点积。
1）实数向量的点积
代码及运算
A = [4 -1 2];
B = [2 -2 -1];
C = dot(A,B)C =82）复数向量的点积
代码及运算
A = [1+i 1-i -1+i -1-i];
B = [3-4i 6-2i 1+2i 4+3i];
C = dot(A,B)
D = dot(A,A)C =1.0000 - 5.0000iD =83）矩阵的点积
代码及运算
A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
B = [9 8 7;6 5 4;3 2 1];
C = dot(A,B)C =54 57 544）多维数组的点积
代码及运算
A = cat(3,[1 1;1 1],[2 3;4 5],[6 7;8 9])
B= cat(3,[2 2;2 2],[10 11;12 13],[14 15; 16 17])
C = dot(A,B,3)A(:,:,1) =1 11 1A(:,:,2) =2 34 5A(:,:,3) =6 78 9B(:,:,1) =2 22 2B(:,:,2) =10 1112 13B(:,:,3) =14 1516 17C =106 140178 220