神经网络理论(机器学习)

motivation

如果逻辑回归的特征有很多，会造出现一些列问题，比如：

线性假设的限制： 逻辑回归是基于线性假设的分类模型，即认为特征与输出之间的关系是线性的。如果特征非常多或者特征与输出之间的关系是非线性的，逻辑回归可能无法很好地进行分类。
特征间相关性： 如果特征之间高度相关，逻辑回归可能会受到多重共线性的影响，导致参数估计不稳定或难以解释。
非线性决策边界的需求： 在复杂的分类问题中，数据可能需要非线性的决策边界来更好地进行分类。

相比之下，神经网络有一系列的优势：

非线性关系建模： 神经网络能够学习复杂的非线性关系，因此在特征与输出之间存在非线性关系或需要复杂的决策边界时，神经网络通常能提供更好的性能。
自动特征学习： 神经网络能够通过隐藏层自动学习特征的高级表示，无需手动进行特征工程，这对于大量特征的问题尤为有利。
适应性强： 神经网络通常对数据中的噪声和复杂性具有一定的鲁棒性，能够更好地泛化到新的数据集。

简单人工神经网络

那么简单介绍一下神将网络：

上面是一个简单人工神经网络，x1-->x3是输入的特征，每个特征都会乘上相应的参数最后得到一个值。(这样看起来和线性回归差不多)

复杂神经网络(旧版本)

接下来介绍一个稍微复杂一点的：

首先定义一些术语：

$a^{(i)}_{j}$	第i层，第j个神经元的激活项
$\Theta ^{(j)}$	从j层到j+1层的权重矩阵（注意，行从1开始，列从0开始）
激活项	由一个神经元接受并输出的值

注意：

$a^{(2)}_{1}=g(\Theta^{(1)}_{10}x_{0} + \Theta^{(1)}_{11}x_{1} + \Theta^{(1)}_{12}x_{2} + \Theta^{(1)}_{13}x_{3})\\$

$a^{(2)}_{2}=g(\Theta^{(1)}_{10}x_{0} + \Theta^{(1)}_{11}x_{1} + \Theta^{(1)}_{12}x_{2} + \Theta^{(1)}_{13}x_{3})\\$

$a^{(3)}_{2}=g(\Theta^{(1)}_{10}x_{0} + \Theta^{(1)}_{11}x_{1} + \Theta^{(1)}_{12}x_{2} + \Theta^{(1)}_{13}x_{3})\\$

$h_{\Theta}(x)=a^{(3)}_{1}=g(\Theta^{(2)}_{10}a^{(2)}_{0} + \Theta^{(3)}_{11}a^{(2)}_{1} + \Theta^{(3)}_{12}a^{(2)}_{2} + \Theta^{(3)}_{13}a^{(2)}_{3})\\$

其中g是激活函数。

这里可能不容易理解：

其实 $\Theta$ 是一个矩阵：

$\begin{pmatrix} \theta_{10}&\theta_{11} &\theta_{12} &\theta_{13} \\ \theta_{20}&\theta_{21} &\theta_{22} &\theta_{23} \\ \theta_{30}&\theta_{31} &\theta_{32} &\theta_{33} \end{pmatrix}$

上图其实还有一个隐藏的 $x_{0}$ 没有画出。就像第一个图一样，这个 $x_{0}$ 是用来调节参数的。

$\theta_{ij}$ 在上图中表示：第二层的第i个神经元接受第一层的第j个特征值，形成的参数(权重)。权重乘上相应的数值得到的值(这个神经元接受前面的所有的神经元传递给他的值的和)(如上 $a^{(2)}_{1}$ 是由前面x0,x1,x2,x3传递给第二层第一个神经元得到 $\theta_{10}x_{0}+\theta_{11}x_{1}+\theta_{12}x_{2}+\theta_{13}x_{3}$ ,再通过激活函数g映射得到数值。)

得到结论：

一个神经网络的第j层有 $s_{j}$ 个单元，第(j+1)层有 $s_{j+1}$ 个单元，那么从j到(j+1)层的权重矩阵属于 $\mathbb{R}^{s_{j+1}\times (s_{j}+1)}$ 。即形状为 $s_{j}\times(s_{j}+1)$ 。

复杂神经网络(新版本)

我们再来看一下另一种解释(其实本质差不多，只不过最新的术语有些改变)

$\vec{a}^{[i]}$	第i层输入出向量
$w$	这个神经元的权重

这里面x就是一个特征向量矩阵，叫做0层(layer0),与上面一个版本有所不同，上面一个版本吧输入的x叫做layer1。这里面，我们把每一个圆形叫做一个“神经元”，每个神经元都有两个参数，分别是向量 $\vec{w}$ 和参数b。这个向量 $\vec{w}$ 的维度与其前一层神经元的个数有关，如果前一层神经元有n个那么这个向量 $\vec{w}$ 就是n维，因为这样才可以出现下面图展示的：

这里可以简化为：

$a^{[i]}_{1}=g(\vec{w^{[i]}_{(1)}}\cdot \vec{a}^{[i-1]}+b^{[i]}_{1})$

注意:每一层的g函数是一样的，不同层的g函数可以不一样。为了统一，我们经常把输入层(layer0)叫做 $\vec{a}^{[0]}$ （ $\vec{x}=\vec{a}^{[0]}$ ）

向前传播(预测)

接下来看一下如何前向传播（通俗点讲叫预测，注意不包含训练）

我们将预测图像显示的是1 or 0。

下面的一个图像是灰度像素展示，是一个1。

我们按照行，把每行首尾相连，组合成一个8*8=64维的向量，把它作为x(输入层， $\vec{a}^{[0]}$ )。

然后我们搭建我们的神经网络：

计算过程：

向前传播在python中实现：

已知有上面的神经网络。

$\vec{w}_{1}^{[1]}=\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}$ $\vec{w}_{2}^{[1]}=\begin{bmatrix} -3\\4 \end{bmatrix}$ $\vec{w}_{3}^{[1]}=\begin{bmatrix} 5\\6 \end{bmatrix}$

将这几个权重整合在一起：

w = np.array([[1, -3, 5],[2, 4, -6]
])

注意，是两行三列，

$b_{1}^{[l]}=-1 ,b_{2}^{[l]}=1 ,b_{3}^{[l]}=2$

b = np.array([-1, 1, 2])

$\vec{a}^{[0]}=\vec{x}$

a_in = np.array([-2, 4])

接下来要创建一个函数用来搭建每一层网络。

def dense(a_in, W, b, g):units = W.shape[1]  # 计算这一层有多少个单元a_out = np.zeros(units)  # 初始化输出for i in range(units):w = W[:, i]  # 取出W的第j列，也就是第j个单元的w向量,注意这里取出的w是1D向量z = np.dot(w, a_in) + b[i]  # 这里的a_in也是1D向量a_out[i]=g(z)   #g为激活函数return a_out

虽然已经有了网络，但是如何将已经有的网络连接起来呢？

还要建立一个函数：

def sequential(x):a1 = dense(x, W1, b1, g)a2 = dense(a1, W2, b2, g)a3 = dense(a2, W3, b3, g)a4 = dense(a3, W4, b4, g)f_x = a4return f_x

代码的高效实现

W = np.array([[1, -3, 5],[2, 4, -6]
])              #不变
B = np.array([[-1, 1, 2]])   #变成二维
X = np.array([[-2, 4]])      #变成二维def dense(A_in, W, B):Z = np.matmul(A_in, W) + B   #这个方法不支持标量A_out = g(Z)return A_out

训练网络

对于下面网络：

我们调用tensorflow库，实现下面代码：

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
model = Sequential([Dense(units=25,activation='sigmoid')Dense(units=15,activation='sigmoid')Dense(units=1,activation='sigmoid')]
)
from tensorflow.keras.losses import BinaryCrossentropy
model.compile(loss=BinaryCrossentropy)
model.fit(X,Y,epochs=100)

注意，这里的tensorflow由于版本问题，可能不含keras,可以直接下载keras这个包。(自己搞了半天才研究出来，大哭)

注意上面的步骤：

model = Sequential(..)
model.compile(loss=...)
model.fit(X,y,epochs=100)