传递函数（Transfer Function）是线性时不变系统（LTI）在频域中描述输入与输出关系的数学工具，是经典控制理论的核心概念之一。以下是其关键要点：
1. 定义
传递函数是系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，假设初始条件为零：
G ( s ) = Y ( s ) X ( s ) G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} G(s)=X(s)Y(s)
其中， X ( s ) X(s) X(s) 是输入信号， Y ( s ) Y(s) Y(s) 是输出信号， s s s 为复频率（拉普拉斯变量）。
2. 核心特性
- 线性时不变系统：仅适用于线性且参数不随时间变化的系统。
- 频域表示：反映系统对不同频率输入的响应特性。
- 零初始条件：所有储能元件（如电容、电感）初始能量为零。
3. 如何获得？
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微分方程模型：对系统的微分方程进行拉普拉斯变换后整理得到。
示例：若系统方程为 d y ( t ) d t + a y ( t ) = b x ( t ) \frac{dy(t)}{dt} + a y(t) = b x(t) dtdy(t)+ay(t)=bx(t)，其传递函数为 G ( s ) = b s + a G(s) = \frac{b}{s + a} G(s)=s+ab。 -
实验法：通过输入特定信号（如阶跃、正弦波）测量输出，拟合传递函数。
4. 典型形式
- 多项式分式：
G ( s ) = b m s m + ⋯ + b 0 a n s n + ⋯ + a 0 ( n ≥ m ) G(s) = \frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_0} \quad (n \geq m) G(s)=ansn+⋯+a0bmsm+⋯+b0(n≥m) - 零极点形式：分子和分母多项式分解为根的形式：
G ( s ) = K ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) ⋯ ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) ⋯ G(s) = K \frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots} G(s)=K(s−p1)(s−p2)⋯(s−z1)(s−z2)⋯- 零点 z i z_i zi：使分子为零的 s s s 值（增强特定频率响应）。
- 极点 p i p_i pi：使分母为零的 s s s 值（决定系统稳定性和动态行为）。
5. 应用场景
- 稳定性分析：极点实部是否为负（是否位于左半复平面）。
- 频域响应：令 s = j ω s = j\omega s=jω 可得到系统的频率响应（如伯德图）。
- 控制器设计：基于开环传递函数设计校正环节（如PID、超前滞后补偿）。
6. 举例说明
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RC低通滤波电路：
微分方程： R C d y ( t ) d t + y ( t ) = x ( t ) RC \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t) RCdtdy(t)+y(t)=x(t)
传递函数： G ( s ) = 1 R C s + 1 G(s) = \frac{1}{RCs + 1} G(s)=RCs+11
极点： s = − 1 R C s = -\frac{1}{RC} s=−RC1（稳定系统）。 -
质量-弹簧-阻尼系统：
方程： m y ¨ + c y ˙ + k y = F ( t ) m\ddot{y} + c\dot{y} + ky = F(t) my¨+cy˙+ky=F(t)
传递函数： G ( s ) = 1 m s 2 + c s + k G(s) = \frac{1}{ms^2 + cs + k} G(s)=ms2+cs+k1。
7. 限制与注意事项
- 仅适用于LTI系统：非线性或时变系统需其他方法（如状态空间）。
- 不显含初始条件：初始能量不为零时需额外处理。
- 多输入多输出系统：需使用传递函数矩阵。
扩展理解
- 状态空间模型：现代控制理论中更通用的表示方法，可处理非线性、时变和多变量系统。
- 离散系统：使用Z变换定义的传递函数，形式类似（如数字滤波器中的 H ( z ) H(z) H(z)）。
传递函数将复杂的微分关系转化为代数形式，极大简化了系统分析和控制器设计过程。
1. 动态系统分析与建模
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物理系统简化
将复杂的微分方程（如机械振动、电路瞬态响应）转化为代数形式的传递函数，便于数学处理。
示例：汽车悬架系统的微分方程 m x ¨ + c x ˙ + k x = F ( t ) m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) mx¨+cx˙+kx=F(t) 可简化为 G ( s ) = 1 m s 2 + c s + k G(s) = \frac{1}{ms^2 + cs + k} G(s)=ms2+cs+k1。 -
多领域通用性
适用于电路、热力学、流体系统等各类线性系统，实现跨领域的统一分析方法。
2. 稳定性判断
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极点位置决定稳定性
传递函数的分母多项式（特征方程）的根（极点）若全部位于复平面左半侧，则系统稳定。
示例： G ( s ) = 1 s 2 + 3 s + 2 G(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} G(s)=s2+3s+21 的极点为 s = − 1 , − 2 s=-1, -2 s=−1,−2，系统稳定；若出现 s = 1 s=1 s=1 则不稳定。 -
稳定性判据工具
结合劳斯判据（Routh-Hurwitz）、奈奎斯特判据（Nyquist）等，无需直接求解极点即可判断稳定性。
3. 系统响应预测
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时域响应分析
通过拉普拉斯反变换，可计算系统对阶跃、脉冲、斜坡等输入的时域响应（如超调量、调节时间）。
示例：一阶系统 G ( s ) = 1 T s + 1 G(s)=\frac{1}{Ts+1} G(s)=Ts+11 的阶跃响应为 y ( t ) = 1 − e − t / T y(t) = 1 - e^{-t/T} y(t)=1−e−t/T。 -
频域响应设计
令 s = j ω s = j\omega s=jω 得到频率响应，用于设计滤波器或分析系统带宽。
示例：二阶低通滤波器 G ( s ) = ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} G(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2 的截止频率由 ω n \omega_n ωn 决定。
4. 控制器设计
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开环与闭环分析
通过开环传递函数 G ( s ) H ( s ) G(s)H(s) G(s)H(s) 设计控制器（如PID），调整闭环性能（如稳态误差、抗干扰性）。
示例：在电机控制中，通过传递函数设计PID参数以优化转速响应。 -
校正与补偿
添加超前/滞后补偿器（如 G c ( s ) = s + z s + p G_c(s) = \frac{s+z}{s+p} Gc(s)=s+ps+z）改善系统相位裕度或响应速度。
5. 多变量系统耦合分析
- 传递函数矩阵
对多输入多输出（MIMO）系统，传递函数矩阵描述各输入输出通道的关系，简化耦合分析。
6. 实际工程应用案例
- 自动驾驶：车辆动力学模型的传递函数用于设计横向控制算法。
- 航天器姿态控制：传递函数描述推力器与姿态角的关系。
- 医疗设备：呼吸机的气压控制系统通过传递函数优化气流响应。
7. 与其他工具的关联
- 状态空间模型：传递函数可转换为状态空间形式（反之亦然），便于现代控制理论应用。
- 数字信号处理：离散系统的Z变换传递函数（如 H ( z ) H(z) H(z)）用于设计数字滤波器。
限制与注意事项
- 仅适用于线性时不变系统：非线性系统需用描述函数或状态空间法。
- 隐藏内部状态：传递函数无法反映系统内部变量（如某些中间节点的物理量）。
总结：为什么工程师离不开传递函数？
- 数学简化：将微分方程转为代数问题。
- 直观设计：通过零极点配置快速优化系统性能。
- 标准化工具：兼容仿真软件（如MATLAB/Simulink）和硬件实现。
传递函数如同“系统的指纹”，通过分析它，工程师能预测行为、诊断问题并精准设计控制器，是自动化、通信、机器人等领域的基石。