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一、Swish 函数

Swish 函数是一种较新的激活函数，由 Ramachandran 等人在 2017 年提出，其数学表达式通常为

其中 σ(x) 是 Sigmoid 函数（Logistic 函数）。

如何理解 Swish 函数

1. 自门控特性

   • Swish 函数可以看作是对输入 x 进行“自门控”的机制：输入 x 乘以其经过 Sigmoid 函数的值，相当于让 x 自己决定通过的比例。
   • 当 x 较大时，σ(x) 趋近于1，此时 Swish 函数近似为 x；当 x 较小时，σ(x) 会使 x 被适当缩放，从而调整激活值。

2. 平滑与非单调性

   • Swish 函数是一条平滑、连续且处处可微的曲线。与 ReLU 等激活函数相比，它没有突然的断点。
   • 同时，Swish 函数是非单调的，即在某些区间内函数值可能先增加后减少，这种非单调性有时能够让网络学习到更复杂的特征表示。

3. 改进训练效果

   • 研究表明，在某些深度学习任务中，使用 Swish 作为激活函数可以比使用 ReLU 带来更好的训练性能和泛化效果。
   • 这种性能提升可能归因于其平滑和非单调的特性，使得梯度传播更加稳定，降低梯度消失或爆炸的风险（参考下面对应的解释）。

4. 扩展形式

   • Swish 函数有一个扩展形式： Swish(x)=x⋅σ(βx), 其中 β是一个可调参数，甚至可以作为可学习参数。不同的 β值会影响激活函数在负区间和正区间的斜率，从而让模型更灵活地适应不同的数据分布。

   • 其中 𝜎(⋅) 为 Logistic 函数，𝛽 为可学习的参数或一个固定超参数。𝜎(⋅) ∈ (0, 1) 可 以看作一种软性的门控机制。当 𝜎(𝛽𝑥) 接近于 1 时，门处于“开”状态，激活函数的 输出近似于 𝑥 本身；当 𝜎(𝛽𝑥) 接近于 0 时，门的状态为“关”，激活函数的输出近似 于0。

      Swish 函数的图示如下：

当𝛽 = 0时，Swish函数变成线性函数𝑥/2；

当𝛽 = 1时，Swish函数在𝑥 > 0 时近似线性，在𝑥 < 0时近似饱和，同时具有一定的非单调性；

当𝛽 → +∞时，𝜎(𝛽𝑥) 趋向于离散的 0-1 函数，Swish 函数近似为 ReLU 函数。

因此，Swish 函数可以看作线性函数和 ReLU 函数之间的非线性插值函数，其程度由参数 𝛽 控制。

举例说明

例子：比较 Swish 与 ReLU 在激活上的差异
假设某神经元计算出的线性组合 x 为 -2, -1, 0, 1, 2。

• ReLU 的输出：

  • 当 x = -2 或 -1 时，输出0；
  • 当 x = 0 时，输出0；
  • 当 x = 1 时，输出1；
  • 当 x = 2 时，输出2。

• Swish 的输出（假设 β=1）：

  • 当 x = -2 时，σ(−2)≈0.12，输出 −2×0.12≈−0.24；
  • 当 x = -1 时，σ(−1)≈0.27，输出 −1×0.27≈−0.27；
  • 当 x = 0 时，σ(0)=0.5，输出 0×0.5=0；
  • 当 x = 1 时，σ(1)≈0.73，输出 1×0.73≈0.731；
  • 当 x = 2 时，σ(2)≈0.88，输出 2×0.88≈1.762 。

从上面可以看出，与 ReLU 相比，Swish 函数在负数区域并不是完全为0，而是保留了负值（尽管较小），而在正数区域输出接近于线性。这样的行为使得网络在训练过程中能保留更多信息，梯度传播更平滑。

Swish 函数将输入 x 与 Sigmoid 函数 σ(x) 的输出相乘，实现了一个平滑且非单调的激活函数。这种设计不仅允许网络在负区域保留部分信息，还提供了平滑的梯度，有助于稳定训练过程并提高模型的泛化能力。其扩展形式中引入的参数 β 进一步增强了模型适应数据的灵活性。

梯度消失或爆炸的风险

梯度消失（Vanishing Gradient）和梯度爆炸（Exploding Gradient）是深度神经网络训练中常见的两大问题，主要与反向传播过程中的梯度计算方式（链式法则）有关。它们会导致模型无法有效学习或训练不稳定。以下是它们的定义、原因及影响：

1. 梯度消失（Vanishing Gradient）

• 定义：在反向传播过程中，梯度（损失函数对参数的导数）逐层传递时逐渐减小，甚至趋近于零，导致浅层网络的权重几乎无法更新。

• 原因：

  • 链式法则的连乘效应：梯度通过反向传播逐层计算时，每一层的梯度都会被前一层的梯度相乘。如果每层的梯度值小于1，多次连乘后会指数级趋近于零。

  • 激活函数的选择：例如 Sigmoid 或 Tanh 函数在输入较大时导数接近零（饱和区），导致梯度消失。

• 后果：

  • 浅层网络参数几乎不更新，模型无法学习底层特征。

  • 模型收敛缓慢或完全停止训练，性能显著下降。

2. 梯度爆炸（Exploding Gradient）

• 定义：梯度在反向传播过程中逐层增大，最终导致权重更新幅度过大，甚至数值溢出（如 NaN）。

• 原因：

  • 链式法则的连乘效应：如果每层的梯度值大于1，多次连乘后会指数级增长。

  • 权重初始化不当：例如初始权重过大，或网络层数过深。

• 后果：

  • 参数更新不稳定，损失剧烈震荡甚至发散。

  • 权重值变为 NaN，训练完全失败。

3. 为什么梯度问题危害大？

• 深层网络更脆弱：网络层数越多，梯度连乘的效应越明显，问题越严重。

• 影响模型表达能力：梯度消失导致浅层无法学习，深层网络退化为浅层网络。

• 训练效率低下：需要更复杂的调参（如学习率调整）或更长的训练时间。

4. 常见解决方案

1. 激活函数改进：

   • 使用 ReLU、Leaky ReLU 等非饱和激活函数，避免梯度消失。

2. 权重初始化：

   • 使用 Xavier初始化 或 He初始化，根据激活函数调整初始权重的分布。

3. 归一化技术：

   • 批量归一化（Batch Normalization）：缓解梯度对参数尺度的依赖。

4. 残差结构（ResNet）：

   • 通过跳跃连接（Skip Connection）绕过梯度消失的层，直接传递梯度。

5. 梯度裁剪（Gradient Clipping）：

   • 对过大的梯度设定阈值，防止梯度爆炸（常用于RNN）。

6. 优化算法：

   • 使用 Adam、RMSProp 等自适应优化器，动态调整学习率。

7. 网络结构设计：

   • 在RNN中使用 LSTM 或 GRU，通过门控机制缓解梯度问题。

5.示例说明

• 梯度消失：一个10层的全连接网络使用 Sigmoid 激活函数，反向传播时梯度可能在第5层之后趋近于零，导致前5层无法更新。

• 梯度爆炸：一个未做梯度裁剪的RNN模型，在长序列训练时梯度可能迅速增大，导致参数溢出。

二、GELU 函数

GELU(Gaussian Error Linear Unit，高斯误差线性单元)也是一种通过门控机制来调整其输出值的激活函数，和 Swish 函数比较类似。

GELU（Gaussian Error Linear Unit，正态误差线性单元）是一种激活函数，它将输入值 x 与 x 取正态累积分布函数（CDF）的值相乘，从而实现非线性变换。其数学表达式通常写为：

其中，Φ(x) 是标准正态分布的累积分布函数，表示一个标准正态随机变量小于 x 的概率。

𝜇, 𝜎 为超参数，一般设 𝜇 = 0, 𝜎 = 1 即可。由于高斯分布的累积分布函数为 S 型函数，因此 GELU 函数可 以用 Tanh 函数或 Logistic 函数来近似，

为了便于计算，实际应用中常使用以下近似公式：

或                         GELU(𝑥) ≈ 𝑥𝜎(1.702𝑥).

当使用 Logistic 函数来近似时，GELU 相当于一种特殊的 Swish 函数。

（参考下面第三部分，概率密度函数和累积分布函数的概念）

如何理解 GELU 函数

1. 概率视角

   • GELU 函数的核心思想是“概率性激活”：将输入 x 与其“被激活”的概率（由正态累积分布 Φ(x) 表示）相乘。这意味着，一个神经元的激活不仅依赖于输入的大小，还依赖于该输入在统计意义上有多大可能被视为“正向贡献”。

2. 平滑性和非线性

   • 与 ReLU 相比，GELU 是一种平滑且处处可微的函数，没有硬性截断，从而有助于梯度更平稳地传递，降低梯度消失的风险。
   • 同时，GELU 是非单调的（在某些区间内可能出现非单调性），这种特性使得网络可以捕捉更复杂的模式。

3. 实际应用中的优势

   • 在许多自然语言处理和计算机视觉任务中，GELU 函数表现出比 ReLU 更好的性能。例如，BERT 和其他 Transformer 模型中就使用了 GELU 作为激活函数，因为它能更细腻地调节信息流。

举例说明

例子：Transformer 中的 GELU
在 Transformer 模型中，隐藏层通常使用 GELU 激活函数来处理输入。假设某层神经元计算得到一个值 x：

• 当 x 较大时，Φ(x) 接近于1，因此 GELU 输出近似于 x；
• 当 x 较小或为负时，Φ(x) 会相应较小，从而使输出趋于较小的值或接近于0。

这种设计允许模型在处理不同尺度的输入时，能根据统计概率自动调节激活程度，从而捕捉更多细微特征，提高模型的表现。

GELU 函数通过将输入与正态累积分布的概率相乘，实现了一种基于概率视角的平滑激活机制。它既能保留输入的线性特性，又能通过平滑非线性变换提供更稳定的梯度传递和更强的表达能力，这使得它在现代深度学习模型中（如 Transformer）得到广泛应用。

三、附加：概率密度函数、累积分布函数的区别和联系

概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）是描述随机变量分布的重要工具，它们既有区别又密切相关：

区别

1. 定义不同

   • 概率密度函数（PDF）：
     适用于连续随机变量。它描述了随机变量在某个取值附近出现的“相对可能性”。注意，单个点的 PDF 值本身不是概率，必须通过积分计算某个区间内的概率。例如，对于连续随机变量 X，其 PDF 表示为 f(x)，某个区间 [a, b] 内的概率为

     

   • 累积分布函数（CDF）：
     表示随机变量小于或等于某个特定值的概率。对于随机变量 X，其 CDF 表示为 F(x)，定义为

     

     CDF 对于连续和离散随机变量都适用，且其取值范围在 [0, 1]。

2. 数值与物理意义

   • PDF：
     描述的是相对密度，给出的是“密度”而不是直接的概率值。比如，f(x) 的值可能大于1，但只要积分结果在某个区间内小于1，就表示该区间内的概率。

   • CDF：
     直接反映概率。它是一个从 −∞到 +∞单调非减的函数，且满足 F(−∞)=0 和 F(+∞)=1。

联系

1. 数学关系
   对于连续随机变量，CDF 和 PDF 之间存在密切联系：

   • 积分关系：
     CDF 是 PDF 的积分，即
   • 微分关系：
     如果 CDF F(x) 在 x 处可导，那么其导数就是 PDF：

2. 用途上的互补

   • 使用 PDF，我们可以分析随机变量在某个区间的“密度”或“强度”，并通过积分得到区间概率。
   • 使用 CDF，我们可以直接了解随机变量在某个值以下的累积概率，这在统计推断和概率计算中非常直接和方便。

举例说明

例子：标准正态分布

从这个例子可以看出，CDF 给出了累积概率，而 PDF 则描述了概率“分布的浓度”。

总结

• 概率密度函数（PDF）：描述连续随机变量在各个点附近的相对概率密度，需要通过积分才能得到具体区间的概率。
• 累积分布函数（CDF）：直接表示随机变量小于或等于某个值的累计概率，具有直观的概率意义，并且可以通过积分（或求导）与 PDF 互相转换。

理解这两者的区别和联系对于掌握概率分布、进行概率计算以及进行统计推断非常重要。