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均方误差（Mean Squared Error，MSE）和平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）是深度学习中常用的两种损失函数，用于衡量模型预测结果与真实标签之间的差异，以下是对它们的详细介绍：
定义
- 均方误差（MSE）：是预测值与真实值之差的平方和的平均值，其数学表达式为，其中为样本数量，为第个样本的真实值，为第个样本的预测值。
- 平均绝对误差（MAE）：是预测值与真实值之差的绝对值的平均值，其数学表达式为。
特点
- MSE
- 对误差的平方惩罚：由于是误差的平方，所以对较大误差的惩罚更严重。这使得模型在训练过程中会更加关注那些预测误差较大的样本，从而促使模型尽可能地减小这些大误差，以降低整体的损失值。
- 梯度计算特性：其梯度与误差成正比，即误差越大，梯度越大，模型参数更新的幅度也就越大。这在训练初期有助于模型快速调整参数，找到一个大致合适的解。
- 连续可导：在数学上具有良好的性质，处处连续可导，便于使用基于梯度的优化算法进行求解，如随机梯度下降（SGD）等。
- MAE
- 对误差的线性惩罚：采用绝对值来衡量误差，对误差的惩罚是线性的，无论误差大小，其惩罚力度相对较为均匀。这使得模型在训练过程中对所有样本的误差都给予相对平等的关注，不会因为个别大误差样本而过度调整参数。
- 鲁棒性较好：对异常值或离群点的敏感度相对较低，因为它不会像 MSE 那样对大误差进行平方放大。所以在数据存在一些噪声或异常值的情况下，MAE 能够提供更稳定的损失度量，使模型的训练更加稳健。
- 梯度不连续：在误差为 0 处不可导，这在使用一些基于梯度的优化算法时可能会带来一些问题，例如可能导致梯度更新不稳定或收敛速度变慢。
适用场景
- MSE
- 回归问题：在大多数回归任务中，如预测房价、股票价格等，MSE 是一种常用的损失函数。它能够使模型更加关注预测的准确性，尤其是对于那些需要精确数值预测的场景。
- 对精度要求高的任务：当对预测结果的精度要求较高，希望模型尽可能减小预测误差时，MSE 是一个合适的选择。例如在一些科学计算或工程应用中，需要对物理量进行精确预测，此时 MSE 可以帮助模型更好地拟合数据。
- MAE
- 存在异常值的情况：当数据集中存在较多异常值或离群点时，MAE 更能体现模型的整体性能。因为它对异常值的不敏感性，使得模型在面对这些干扰因素时能够保持相对稳定的训练和评估。
- 鲁棒性要求高的任务：在一些对模型鲁棒性要求较高的场景中，如医疗诊断、金融风险评估等，MAE 可以提供更可靠的损失度量。这些领域的数据往往存在一定的不确定性和噪声，MAE 能够帮助模型更好地应对这些情况，做出相对稳定的预测。