标准网站建设价格_中国房地产未来走向_seo优化步骤_软文街官网

2025/2/14 5:51:32 来源：https://blog.csdn.net/weixin_73404807/article/details/144520543 浏览: 次关键词：标准网站建设价格_中国房地产未来走向_seo优化步骤_软文街官网

正交活动标架与自然标架的关系

注意到

$\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}(r_u,r_v)=A\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}(e_1,e_2)A^{\prime}=AA^{\prime}$

所以 $A$ 可逆。

注意到 $r_u\wedge r_v=\det A(e_1\wedge e_2)$

所以当 $e_3=n$ 时， $\det A=\sqrt{EG-F^2}$ ;

当 $e_3=-n$ 时， $\det A=-\sqrt{EG-F^2}$ 。

又因为 $w_1,w_2)=(du,dv)A$ ,

所以 $w_1,w_2)$ 和 $(d u, d v)$ 可以互相线性表示。

注意到 $w_{ij}$ 都是一阶微分形式，所以可以用 $(d u, d v)$ 线性表示，故可以用 $w_1,w_2)$ 线性表示。

所以存在二阶方阵 $B=(h_{ij})$ 使得 $w_{13},w_{23})=(w_1,w_2)B$ 。

则当 $e_3=n$ 时，第二基本形

$\Pi=(w_{13},w_{23})\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=(w_1,w_2)B\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=(du,dv)ABA^{\prime}\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}$

于是

$\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}=ABA^{\prime}$

从而 $B$ 是对称矩阵，即 $B^{\prime}=B$ 。(当 $e_3=-n$ 时， $B$ 也是对称的)

性质1

当 $e_3=n$ 时，矩阵 $B$ 的特征值是主曲率，行列式是Gauss曲率， $\frac 12$ tr $B$ 是平均曲率。

证：
Weingarten变换在自然基下的系数矩阵为 $(ABA^{\prime})(AA^{\prime})^{-1}=ABA^{-1}$ ,与 $B$ 相似。相似变换不改变矩阵的特征值、行列式、迹。

性质2

$B$ 是Weingarten在基 $e_1,e_2)$ 下的系数矩阵。特别地，若 $e_1,e_2$ 是主方向，则主曲率 $k_1,k_2$ 使得

$w_{13}=k_1e_1,w_{23}=k_2e_2$

证：

$\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}$

则

$W\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}=A^{-1}W\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}=A^{-1}ABA^{-1}\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}$

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