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岭回归是一种针对多重共线性问题的回归方法，通过对线性回归模型引入 $L_2$ 正则化项，限制模型系数的大小，从而提高模型的泛化能力。

1. 背景问题

在普通最小二乘（OLS）回归中，损失函数是最小化残差平方和：

$\text{OLS Loss} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$

其中，预测值 $\hat{y}_i = \beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} + \cdots + \beta_px_{ip}$ 。

多重共线性

如果特征之间存在强烈的相关性（即多重共线性），会导致普通线性回归的解不稳定：
1. 矩阵 $X^T X$ 的条件数很大或接近奇异。
2. 回归系数 β 对训练数据的噪声极为敏感，导致模型泛化能力差。

2. 岭回归的改进

引入 $L_2$ 正则化

岭回归在 OLS 损失函数中添加了一个惩罚项，限制回归系数的平方和：

$\text{Ridge Loss} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 + \lambda \sum_{j=1}^p \beta_j^2$

是正则化强度的超参数，控制惩罚的大小：
- 当 $\lambda = 0$ ，等同于普通最小二乘回归。
- 当 $\lambda \to \infty$ ，所有回归系数趋近于 0。

优化目标

最小化目标函数：

$\min_\beta \left\{ \| y - X\beta \|_2^2 + \lambda \| \beta \|_2^2 \right\}$

其中：

$\| y - X\beta \|_2^2$ 是残差平方和。
$\| \beta \|_2^2 = \sum_{j=1}^p \beta_j^2$ 是 $L_2$ 范数。

3. 岭回归的解

岭回归的闭式解为：

$\beta = (X^T X + \lambda I)^{-1} X^T y$

$X^T X + \lambda I$ 是一个正定矩阵，确保了逆矩阵的存在，即使 $X^T X$ 接近奇异。
$I$ 是单位矩阵。

相比于 OLS 解 $\beta = (X^T X)^{-1} X^T y$ ，岭回归通过 $\lambda I$ 对 $X^T X$ 加入平滑，提高了数值稳定性。

4. 优缺点

优点

解决多重共线性：通过正则化减少模型对特征噪声的敏感性。
稳定性：模型更加稳定，预测结果更鲁棒。
控制过拟合：引入正则化，有效降低复杂模型的过拟合风险。

缺点

特征选择能力弱：岭回归不会将特征系数缩减为 0，因此不适合用于特征筛选（相比于 Lasso 回归）。
对 λ 的依赖：正则化参数需要通过交叉验证调优。

5. 实现代码

以下是 Python 中使用 scikit-learn 的实现示例：

from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import make_regression
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 生成数据
X, y = make_regression(n_samples=100, n_features=5, noise=10, random_state=42)# 数据集划分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 创建岭回归模型
ridge = Ridge(alpha=1.0)  # alpha 即正则化参数 λ
ridge.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred = ridge.predict(X_test)# 评价
print("MSE:", mean_squared_error(y_test, y_pred))
print("回归系数:", ridge.coef_)

输出结果

MSE: 121.64571508040383
回归系数: [60.80641691 96.97650095 59.85083263 54.82588222 35.69887237]

6. 岭回归的应用场景

金融领域：解决变量间高度相关的问题，如资产定价模型。
基因数据分析：处理特征数量远大于样本数量的高维数据。
时间序列预测：对相关变量的噪声进行平滑处理。

7. 岭回归与其他方法的比较

方法	正则化类型	优点	缺点
普通回归	无	简单直观、无偏估计	对多重共线性敏感
岭回归	$L_2$ 范数	稳定性高，解决共线性问题	无法特征选择
Lasso	$L_1$ 范数	可稀疏化系数（特征选择）	存在一定的偏差
ElasticNet	$L_1 + L_2$ 范数	综合岭回归和 Lasso 的优点	需要调节两个正则化参数

8. 超参数调优

正则化参数 λ（在 scikit-learn 中为 alpha）是岭回归中的核心超参数，常用的调优方法是交叉验证：

from sklearn.linear_model import RidgeCV
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import make_regression# 生成数据
X, y = make_regression(n_samples=100, n_features=5, noise=10, random_state=42)# 数据集划分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 设置不同的 λ 值
alphas = [0.1, 1.0, 10.0, 100.0]# 交叉验证选择最佳 λ
ridge_cv = RidgeCV(alphas=alphas, cv=5)  # 5 折交叉验证
ridge_cv.fit(X_train, y_train)# 最佳正则化参数
print("最佳 λ:", ridge_cv.alpha_)

输出结果

最佳 λ: 0.1

岭回归通过引入 $L_2$ 正则化，有效解决了多重共线性和过拟合问题，适合在高维和相关性强的数据集中使用。

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1. 背景问题

多重共线性

2. 岭回归的改进

引入 $L_2$ 正则化

优化目标

3. 岭回归的解

4. 优缺点

优点

缺点

5. 实现代码

6. 岭回归的应用场景

7. 岭回归与其他方法的比较

8. 超参数调优

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引入 ​ 正则化

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引入 $L_2$ 正则化