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前言

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拓扑排序是一种适用于 有向无环图（DAG） 的重要算法，常用于解决依赖关系问题，如课程安排、任务调度等。在本文中，我们将通过以下四道题目，详细讲解拓扑排序的原理、实现方式及其多样化应用场景：

1557. 可以到达所有点的最少点数目	207. 课程表
210. 课程表 II	802. 找到最终的安全状态

拓扑排序基础知识

核心思想：

拓扑排序旨在为图中的节点安排一种线性顺序，使得对每条有向边 (u, v)，节点 u 总是排在 v 之前。

本节我们利用 入度表 + 广度优先搜索（BFS） 实现拓扑排序：

1. 入度的概念

• 每个节点的 入度 是指有多少条边指向这个节点。
• 如果某个节点的入度为 0，说明它没有依赖，可以作为起点开始。

2. 拓扑排序的原理

• 将所有入度为 0 的节点加入队列（表示这些节点可以直接开始，不需要经过任何依赖）。
• 从队列中逐一取出节点，将其所有出边的目标节点的入度减 1 (被引用次数-1)。
• 如果某个节点的入度变为 0，将其加入队列。
• 重复这一过程，直到队列为空。
• 如果完成所有节点的拓扑排序，说明图中无环；否则，说明存在环。

适用条件：

图必须是 有向无环图（DAG）。
若存在环，则无法构建拓扑排序。

常见实现方法：

• Kahn算法： 基于入度统计。逐步移除入度为 0 的节点，动态更新图结构。
• DFS（深度优先搜索）： 通过后序遍历逆序输出结果。

实战：经典例题讲解

1557. 可以到达所有点的最少点数目

🪸题目描述

🪷核心思路

这是一个经典的入度问题，这题可以看作是 拓扑排序思想的局部应用，利用入度信息快速判断需要作为起点的节点。初具雏形。
若一个节点的入度为 0，则必须从它出发才能到达该节点。
因此，我们只需要找出所有入度为 0 的节点即可。

1. 构建入度数组

for(List<Integer> a : edges){inDegree[a.get(1)]++;
}

• 遍历所有边，计算每个节点的入度 （即有多少条边指向该节点，被引用的次数） 。
• 结果存储在 inDegree 数组中，其中 inDegree[i] 表示节点 i 的入度。

2. 找出入度为 0 的节点

for (int i = 0; i < n; i++) {if (inDegree[i] == 0) {res.add(i);}
}

• 遍历所有节点，检查哪些节点的入度为 0。
• 入度为 0 的节点没有任何依赖，它们必须作为路径的起点，加入结果列表 res。

3. 返回结果
   最终返回 res，即所有入度为 0 的节点构成的集合。

🌿代码实现

Java

class Solution {public List<Integer> findSmallestSetOfVertices(int n, List<List<Integer>> edges) {List<Integer> res = new ArrayList<>();int[] inDegree = new int[n];// 构建入度数组// 其中每个元素表示对应被依赖的次数，也就是 入度for(List<Integer> a : edges){inDegree[a.get(1)]++;}// 将所有入度为 0 的课程加入队列Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < n; i++) {if (inDegree[i] == 0) {res.add(i);}}return res;}
}

Python

class Solution(object):def findSmallestSetOfVertices(self, n, edges):""":type n: int:type edges: List[List[int]]:rtype: List[int]"""# 初始化入度数组in_degree = [0] * n# 构建入度数组for edge in edges:in_degree[edge[1]] += 1# 找出所有入度为 0 的节点return [i for i in range(n) if in_degree[i] == 0]

C++

class Solution {
public:vector<int> findSmallestSetOfVertices(int n, vector<vector<int>>& edges) {// 初始化入度数组vector<int> inDegree(n, 0);// 构建入度数组for (const auto& edge : edges) {inDegree[edge[1]]++;}// 找出所有入度为 0 的节点vector<int> result;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (inDegree[i] == 0) {result.push_back(i);}}return result;}
};

207. 课程表

🪸题目描述

🪷核心思路

这是一道经典的图是否有环的问题，可以通过 Kahn算法 或 DFS 判断环的存在。

利用 入度表 + 广度优先搜索（BFS） 实现拓扑排序。

比上一题多了一步的就是加了一个邻接表，目的就是把两个点的有向连接（图二）表示出来进行BFS遍历求得结果。

🌿代码实现

Java

class Solution {public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {// 入度数组，表示每个课程被依赖的次数int[] inDegree = new int[numCourses];// 图的邻接表表示List<List<Integer>> adjacency = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < numCourses; i++) {adjacency.add(new ArrayList<>());}// 构建图和入度数组for (int[] pair : prerequisites) {inDegree[pair[0]]++;// 每个课程（节点）都有一个列表，列表中存储的是所有依赖于该课程的其他课程（即该课程是其他课程的先修课程）adjacency.get(pair[1]).add(pair[0]);}// 将所有 入度为 0 的课程加入队列，表示这些课程可以直接学习，无需先修课程。Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < numCourses; i++) {if (inDegree[i] == 0) {queue.offer(i);}}// BFS 遍历int count = 0; // 记录已完成的课程数量while (!queue.isEmpty()) {int course = queue.poll();count++;for (int nextCourse : adjacency.get(course)) {inDegree[nextCourse]--;// 添加接下来 入度为0 的元素if (inDegree[nextCourse] == 0) {queue.offer(nextCourse);}}}// 当 BFS 结束时，如果拓扑排序数组中的课程数小于总课程数，说明图中存在环，无法完成所有课程。这时，返回空数组 []return count == numCourses;}
}

Python

class Solution(object):def canFinish(self, numCourses, prerequisites):""":type numCourses: int:type prerequisites: List[List[int]]:rtype: bool"""# 入度数组，表示每个课程被依赖的次数in_degree = [0] * numCourses# 图的邻接表表示adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]# 构建图和入度数组for pair in prerequisites:in_degree[pair[0]] += 1adjacency[pair[1]].append(pair[0])# 将所有 入度为 0 的课程加入队列，表示这些课程可以直接学习，无需先修课程。queue = []for i in range(numCourses):if in_degree[i] == 0:queue.append(i)# BFS 遍历count = 0  # 记录已完成的课程数量while queue:course = queue.pop(0)count += 1for next_course in adjacency[course]:in_degree[next_course] -= 1if in_degree[next_course] == 0:queue.append(next_course)# 如果拓扑排序中的课程数小于总课程数，说明存在环，无法完成所有课程return count == numCourses

C++

class Solution {
public:bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {// 入度数组，表示每个课程被依赖的次数vector<int> inDegree(numCourses, 0);// 图的邻接表表示vector<vector<int>> adjacency(numCourses);// 构建图和入度数组for (const auto& pair : prerequisites) {inDegree[pair[0]]++;adjacency[pair[1]].push_back(pair[0]);}// 将所有 入度为 0 的课程加入队列，表示这些课程可以直接学习，无需先修课程。queue<int> q;for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {if (inDegree[i] == 0) {q.push(i);}}// BFS 遍历int count = 0; // 记录已完成的课程数量while (!q.empty()) {int course = q.front();q.pop();count++;for (int nextCourse : adjacency[course]) {inDegree[nextCourse]--;if (inDegree[nextCourse] == 0) {q.push(nextCourse);}}}// 如果拓扑排序中的课程数小于总课程数，说明存在环，无法完成所有课程return count == numCourses;}
};

210. 课程表 II

🪸题目描述

🪷核心思路

和 207. 课程表 类似，但需要输出一条合法的课程学习路径。我们可以直接基于拓扑排序构造学习路径。

🌿代码实现

Java

class Solution {public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {// 入度数组，表示每个课程被依赖的次数int[] inDegree = new int[numCourses];// 图的邻接表表示List<List<Integer>> adjacency = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < numCourses; i++) {adjacency.add(new ArrayList<>());}// 构建图和入度数组for (int[] pair : prerequisites) {inDegree[pair[0]]++;adjacency.get(pair[1]).add(pair[0]);}// 将所有入度为 0 的课程加入队列Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < numCourses; i++) {if (inDegree[i] == 0) {queue.offer(i);}}// 保存课程学习顺序int[] order = new int[numCourses];int index = 0; // 指向 `order` 数组的位置// BFS 遍历while (!queue.isEmpty()) {int course = queue.poll();order[index++] = course; // 将课程加入学习顺序for (int nextCourse : adjacency.get(course)) {inDegree[nextCourse]--;if (inDegree[nextCourse] == 0) {queue.offer(nextCourse);}}}return index < numCourses ? new int[0] : order; // 返回课程学习顺序}
}

Python

class Solution(object):def findOrder(self, numCourses, prerequisites):""":type numCourses: int:type prerequisites: List[List[int]]:rtype: List[int]"""# 入度数组，表示每个课程被依赖的次数in_degree = [0] * numCourses# 图的邻接表表示adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]# 构建图和入度数组for pair in prerequisites:in_degree[pair[0]] += 1adjacency[pair[1]].append(pair[0])# 将所有入度为 0 的课程加入队列queue = []for i in range(numCourses):if in_degree[i] == 0:queue.append(i)# 保存课程学习顺序order = []while queue:course = queue.pop(0)order.append(course)for next_course in adjacency[course]:in_degree[next_course] -= 1if in_degree[next_course] == 0:queue.append(next_course)# 如果拓扑排序未覆盖所有课程，返回空数组return order if len(order) == numCourses else []

C++

class Solution {
public:vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {// 入度数组，表示每个课程被依赖的次数vector<int> inDegree(numCourses, 0);// 图的邻接表表示vector<vector<int>> adjacency(numCourses);// 构建图和入度数组for (const auto& pair : prerequisites) {inDegree[pair[0]]++;adjacency[pair[1]].push_back(pair[0]);}// 将所有入度为 0 的课程加入队列queue<int> q;for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {if (inDegree[i] == 0) {q.push(i);}}// 保存课程学习顺序vector<int> order;while (!q.empty()) {int course = q.front();q.pop();order.push_back(course);for (int nextCourse : adjacency[course]) {inDegree[nextCourse]--;if (inDegree[nextCourse] == 0) {q.push(nextCourse);}}}// 如果拓扑排序未覆盖所有课程，返回空数组return order.size() == numCourses ? order : vector<int>();}
};

802. 找到最终的安全状态

🪸题目描述

🪷核心思路

我们可以从反向图出发，寻找出度为 0 的节点（终点），并依次标记为安全。

为什么反向图能够帮助我们找到安全节点？

1. 从安全节点开始反向查找：

• 安全节点是指没有环的节点，因此从这些节点出发无法到达其他节点，因此它们的反向图中入度为 0。
• 一旦节点的入度为 0，意味着没有节点依赖它，它是“安全”的。

2. 拓扑排序的过程：

• 在反向图中，拓扑排序会找到所有的“无依赖”节点（即入度为 0 的节点），这些节点可以认为是安全的。
• 通过拓扑排序，如果某个节点进入队列并被处理，说明它没有环，并且在反向图中是可以到达终点的。

🌿代码实现

Java

class Solution {public List<Integer> eventualSafeNodes(int[][] graph) {// 反向图 + 拓扑排序int n = graph.length;List<List<Integer>> reverseGraph = new ArrayList<>();int[] inDegree = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {reverseGraph.add(new ArrayList<>());}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int next : graph[i]) {reverseGraph.get(next).add(i);inDegree[i]++;}}// 2. 将所有入度为 0 的节点加入队列（安全节点）Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < n; i++) {if (inDegree[i] == 0) {queue.offer(i);}}// 3. 拓扑排序List<Integer> safeNodes = new ArrayList<>();while (!queue.isEmpty()) {int node = queue.poll();safeNodes.add(node);for (int prev : reverseGraph.get(node)) {// 如果当前节点是某个节点的依赖节点，减少它的入度inDegree[prev]--;if (inDegree[prev] == 0) {queue.offer(prev);  // 如果该节点的入度为 0，说明它是安全节点}}}// 4. 返回所有安全节点（按升序排序）Collections.sort(safeNodes);return safeNodes;}
}

Python

class Solution(object):def eventualSafeNodes(self, graph):""":type graph: List[List[int]]:rtype: List[int]"""n = len(graph)reverseGraph = [[] for _ in range(n)]inDegree = [0] * n# 构建反向图并计算入度for i in range(n):for next_node in graph[i]:reverseGraph[next_node].append(i)inDegree[i] += 1# 将所有入度为 0 的节点加入队列queue = deque()for i in range(n):if inDegree[i] == 0:queue.append(i)# 拓扑排序safeNodes = []while queue:node = queue.popleft()safeNodes.append(node)for prev in reverseGraph[node]:inDegree[prev] -= 1if inDegree[prev] == 0:queue.append(prev)# 返回所有安全节点，按升序排序safeNodes.sort()return safeNodes

C++

class Solution {
public:vector<int> eventualSafeNodes(vector<vector<int>>& graph) {int n = graph.size();vector<vector<int>> reverseGraph(n);vector<int> inDegree(n, 0);// 构建反向图和计算每个节点的入度for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int next : graph[i]) {reverseGraph[next].push_back(i);  // 反向图inDegree[i]++;  // 计算入度}}// 将所有入度为 0 的节点加入队列queue<int> q;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (inDegree[i] == 0) {q.push(i);}}// 拓扑排序vector<int> safeNodes;while (!q.empty()) {int node = q.front();q.pop();safeNodes.push_back(node);for (int prev : reverseGraph[node]) {if (--inDegree[prev] == 0) {q.push(prev);}}}// 返回所有安全节点，按升序排序sort(safeNodes.begin(), safeNodes.end());return safeNodes;}
};

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结语

通过这四道题，我们可以看到拓扑排序的强大应用：

• 解决 依赖问题，如课程安排（207, 210）。
• 处理 图中状态分类 的问题，如安全状态（802）。
• 分析 关键点或入度特性，如找到最小的起点集合（1557）。

拓扑排序不仅是一种算法，更是一种理解图结构的思维方式。在面试中，遇到类似依赖关系的题目，尝试从有向图的角度切入往往是一个很好的突破点。

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