1.1 算法基本概念与复杂度分析
算法是一种解决问题的具体方法。在这一章节中，我们将会了解到算法的基本概念，包括输入、输出、算法正确性、算法复杂度等。我们还将会学习如何分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以便在实际应用中选择最优的算法。
什么是算法？
算法是一种解决问题的具体方法。我们可以将生活中的很多问题都看作一个算法。例如，制作一杯咖啡的过程就是一个算法：
- 准备一个空杯子。
- 将咖啡豆研磨成合适的粒度。
- 将咖啡粉放入咖啡机中。
- 加入足够的水。
- 启动咖啡机。
- 等待几分钟，直到咖啡机完成任务。
- 将咖啡倒入杯子中。
- 按需添加糖或牛奶。
- 享受你的咖啡。
这个过程就是一个算法，它有输入（空杯子、咖啡豆、水）、输出（一杯咖啡）、过程（研磨、冲泡）、正确性（研磨成合适的粒度，加入足够的水等）和复杂度（咖啡豆的研磨时间、水的加入量等）。同样，制作一个蛋糕、修理一辆车、打扫房间等都可以看作是一个算法，只是它们的 输入、输出、过程、正确性 和 复杂度 都不同而已。
初识复杂度
复杂度是一个用于衡量算法好坏的参考标准。就像我们评价一个人的诚信度，可以使用芝麻分作为参考一样。
那什么又算是好的算法呢，下面我们来看一张图：
从图中我们可以看出，蓝色的线随着数据规模的增加，程序运行时间并没有显著增加。而红色的线，随着数据规模增加，运行时间增长的非常快，以至于数据规模到达一定程度，程序的运行时间会变得不可接受。
你可能已经发现了，所谓的复杂度其实就是一个
时间复杂度和空间复杂度
复杂度分析中我们通常会讨论两种复杂度：
- 时间复杂度：程序的运行时间随数据规模变化的函数。
- 空间复杂度：程序占用的存储空间随数据规模变化的函数。
复杂度更优的算法，可以起到事半功倍的效果。而复杂度过高的算法，只能停留在理论层面，无法在真实世界中解决工程问题，毕竟如果做一次计算需要一万年，那没人会真正去运行这个程序。
在当今这个时代，计算机的存储成本已经极其低廉，所以我们更侧重关注时间复杂度，有时还会刻意的牺牲空间来换取时间。
复杂度的计算和表示方式
用一台20年前的计算机，和你现在正在用的电脑，运行同一个程序的话，你觉得哪台设备速度更快？显然，这没有可比性。所以复杂度的计算，需要排除硬件和环境的干扰，我们纯粹在理论层面去评判算法的优劣。
可以假设任何计算机的CPU运行一行代码需要使用1个单位时间（Unit Time），记作 1(ut) 。
那么我们看看下面这个函数：
int fun1(int n){return n + 1;
}
核心代码只有一行 return n + 1; ，我们粗略的将其运行时间记作 1(ut)，随着输入参数n的变化，函数的运行时间永远都是 1(ut)。
接下来看看这个函数：
int fun2(int n){n /= 2;n = n * n * 3;return n + 5;
}
核心代码有三行 ，我们粗略的将其运行时间记作 3(ut)，随着输入参数 n 的变化，函数的运行时间永远都是 3(ut)。
上面的两个例子中的算法，无论输入数据怎么变化，近似的计算时间永远是一个常数，我们把这种算法叫做常数阶。
习惯上我们用一种叫做”大O表示法的形式”，将上面两个程序的时间复杂度记为 O(1) 和 O(3)。
由于任何常数在无穷大面前都可以忽略不计，所以我们在表示常数阶时，一般不会保留具体的数字，而是全部简单的用数字 1 来代替，所以上面两个算法的复杂度都可以写为 O(1)。
下面以Java代码为例，列举常见的各种复杂度的示例算法。
- O(1) 常数阶函数：该函数的运行时间与输入规模无关。
public static int constantTime(int x, int y) {return x + y; // 该函数的运行时间不随输入规模而变化
}
- O(log n) 对数阶函数：该函数的运行时间随着输入规模的增长而增长，但增长缓慢。
public static int logarithmicTime(int n) {int count = 0;for (int i = 1; i < n; i *= 2) {count++;}return count; // 该函数的运行时间随输入规模的增长而增长，但增长缓慢
}
- O(n) 线性阶函数：该函数的运行时间随着输入规模的增长而线性增长。
public static int linearTime(int[] arr) {int sum = 0;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {sum += arr[i];}return sum; // 该函数的运行时间随输入规模的增长而线性增长
}
- O(n log n) 线性对数阶函数：该函数的运行时间随着输入规模的增长略微超过线性增长。
public static int linearithmicTime(int[] arr) {Arrays.sort(arr);int sum = 0;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {sum += arr[i];}return sum; // 该函数的运行时间随输入规模的增长略微超过线性增长
}
- O(n^2) 平方阶函数：该函数的运行时间随着输入规模的增长呈平方级增长。
public static int quadraticTime(int n) {int sum = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {sum++;}}return sum; // 该函数的运行时间随输入规模的增长呈平方级增长
}
- O(n^3) 立方阶函数：该函数的运行时间随着输入规模的增长呈立方级增长。
public static int cubicTime(int n) {int sum = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {for (int k = 0; k < n; k++) {sum++;}}}return sum; // 该函数的运行时间随输入规模的增长呈立方级增长
}
- O(2^n) 指数阶函数：该函数的运行时间随着输入规模的增长呈指数级增长。
public static int exponentialTime(int n) {if (n <= 0) {return 1;}return exponentialTime(n-1) + exponentialTime(n-2);// 该函数的运行时间随输入规模的增长呈指数级增长
}
- O(n!) 阶乘阶函数：该函数的运行时间随着输入规模的增长呈阶乘级增长。
public static int factorialTime(int n) {if (n == 1) {return 1;}return n * factorialTime(n-1);// 该函数的运行时间随输入规模的增长呈阶乘级增长
}
| 中文名称 | 英文名称 | 复杂度表示 | 描述 |
|---|---|---|---|
| 常数阶 | Constant Time | O(1) | 算法的运行时间不随输入规模而变化 |
| 对数阶 | Logarithmic Time | O(log n) | 算法的运行时间随输入规模的增长而增长，但增长缓慢 |
| 线性阶 | Linear Time | O(n) | 算法的运行时间随输入规模的增长而线性增长 |
| 线性对数阶 | Linearithmic Time | O(n log n) | 算法的运行时间随输入规模的增长而略微超过线性增长 |
| 平方阶 | Quadratic Time | O(n^2) | 算法的运行时间随输入规模的增长而呈平方级增长 |
| 立方阶 | Cubic Time | O(n^3) | 算法的运行时间随输入规模的增长而呈立方级增长 |
| 指数阶 | Exponential Time | O(2^n) | 算法的运行时间随输入规模的增长而呈指数级增长 |
| 阶乘阶 | Factorial Time | O(n!) | 算法的运行时间随输入规模的增长而呈阶乘级增长 |
需要注意的是，对于一个算法，我们考虑他的整体复杂度时，通常只保留最高阶的，而忽略随着数据规模增加，影响可以忽略不计的低阶。
例如，如果有一个算法中既包含常数阶，对数阶又包含平方阶 O(5 + log n + 3*n^2)，我们可以直接将其记作 O(n^2)。