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1 基本概念

对极几何（Epipolar Geometry）描述的是两幅视图之间的内在射影关系，与外部场景无关，只依赖于摄像机内参数和这两幅视图之间的相对位姿

两视图的对极几何可以理解为图像平面与以基线为轴的平面束相交的几何关系，其中主要有几种概念：

基线（base line）:两个相机中心的连线CC'称为基线
对极点（epipolar）:ee'是对极点，是基线与两个成像平面的交点，也就是两个相机在另一个成像平面上的像点
对极平面（epipolar plane）:过基线的平面都称之为对极平面，其中两个相机的中心C和C',三维点X，以及三维点在两个相机成像点xx'这五点必定在同一对极平面上，当三维点X变化时，对极平面绕着基线旋转，形成对极平面束
对极线（epipolar line）：是对极平面和成像平面的交线，所有的对极线都相交于极点

2 基础矩阵和本质矩阵的推导

那么由对极几何的基本性质引出了对极约束的概念，对极约束是指在平面2上的p点在平面1上的对应点一定在基线I'上，这句话说明了对极约束是一个点到直线的射影映射关系。如图所示

根据对极约束可以引出本质矩阵和基础矩阵。在已知相机标定的情况下，假设有一个三维坐标点P(X,Y,Z)在两个视图上的点分别为p1,p2，由于第一个相机的中心作为世界坐标系的原点，也就是说第一个相机没有旋转R和平移t，通过小孔相机模型有：

p1=KP， p2=K(RP+t)

其中,K是相机的内参,R,t是第二个相机相对于第一个相机的旋转和平移。

$p_1=KP$

$P=K^{-1} p_1$

带入上面式子中：

$p_2=K(R K^{-1}p_1+t)$

两边同时乘以 $K^{-1}$ 得到：

$K^{-1}p_2=RK^{-1}p_1+t$

为了简化，规定：

$x_1=K^{-1}p_1$

$x_2=K^{-1}p_2$

$x_2=Rx_1+t$

两边同时左乘向量t的反对称矩阵t×,由于t×t=0，消除t，

$t_{\times} x_2=t_{\times} R x_1$

两边同时乘以 $x_2^T$

$x_2^T t_{\times} x_2=x_2^T t_{\times} R x_1$

由于 $t_{\times} x_2$ 是向量t和向量x2的叉积，同时垂直于向量t和向量x2，所以左边的式子为0得到：

$0=x_2^T t_{\times} R x_1$

再将 $x_1$ , $x_2$ 带入上面式子中：

$p_2^T K^{-T} t_{\times} R K^{-1} p_1=0$

上式是对极约束的一种表示，该式子中仅包含像点，相机的旋转和平移，中间的矩阵就是基础矩阵F

$F=K^{-T} t_{\times} R K^{-1}$

当K已知时提取中间的矩阵得到本质矩阵E，E矩阵同样表示的是对极约束的关系，只不过它不再涉及相机内参，只由两视图之间的姿态关系决定

$E=t_{\times} R$

F矩阵的性质有三：

3*3且自由度为7的矩阵
kF 为基础矩阵，相差一个尺度自由度
F矩阵的秩为2

基础矩阵的求解方法：

直接线性变换法（8点法+最小二乘法）
RANSAC-估计基础矩阵

3 基础矩阵求解方法

opencv 求解API：https://docs.opencv.org/3.4.0/d9/d0c/group__calib3d.html#ga4abc2ece9fab9398f2e560d53c8c9780

Mat cv::findFundamentalMat 	( 	InputArray  	points1,InputArray  	points2,int  	method = FM_RANSAC,double  	param1 = 3.,double  	param2 = 0.99,OutputArray  	mask = noArray() ) 	Mat cv::findEssentialMat 	( 	InputArray  	points1,InputArray  	points2,double  	focal = 1.0,Point2d  	pp = Point2d(0, 0),int  	method = RANSAC,double  	prob = 0.999,double  	threshold = 1.0,OutputArray  	mask = noArray() )

8点法求解

#include <math/matrix_svd.h>
#include "math/matrix.h"
#include "math/vector.h"typedef math::Matrix<double, 3, 3>  FundamentalMatrix;FundamentalMatrix fundamental_8_point (math::Matrix<double, 3, 8> const& points1, math::Matrix<double, 3, 8> const& points2){FundamentalMatrix F;return F;
#if 0/* direct linear transform */math::Matrix<double, 8, 9> A;for(int i=0; i<8; i++){math::Vec3d p1  = points1.col(i);math::Vec3d p2 = points2.col(i);A(i, 0) = p1[0]*p2[0];A(i, 1) = p1[1]*p2[0];A(i, 2) = p2[0];A(i, 3) = p1[0]*p2[1];A(i, 4) = p1[1]*p2[1];A(i, 5) = p2[1];A(i, 6) = p1[0];A(i, 7) = p1[1];A(i, 8) = 1.0;}math::Matrix<double, 9, 9> vv;math::matrix_svd<double, 8, 9>(A, nullptr, nullptr, &vv);math::Vector<double, 9> f = vv.col(8);FundamentalMatrix F;F(0,0) = f[0]; F(0,1) = f[1]; F(0,2) = f[2];F(1,0) = f[3]; F(1,1) = f[4]; F(1,2) = f[5];F(2,0) = f[6]; F(2,1) = f[7]; F(2,2) = f[8];/* singularity constraint */math::Matrix<double, 3, 3> U, S, V;math::matrix_svd(F, &U, &S, &V);S(2,2)=0;F = U*S*V.transpose();return F;
#endif}int main(int argc, char*argv[])
{// 第一幅图像中的对应点math::Matrix<double, 3, 8> pset1;pset1(0, 0) = 0.180123 ; pset1(1, 0)= -0.156584; pset1(2, 0)=1.0;pset1(0, 1) = 0.291429 ; pset1(1, 1)= 0.137662 ; pset1(2, 1)=1.0;pset1(0, 2) = -0.170373; pset1(1, 2)= 0.0779329; pset1(2, 2)=1.0;pset1(0, 3) = 0.235952 ; pset1(1, 3)= -0.164956; pset1(2, 3)=1.0;pset1(0, 4) = 0.142122 ; pset1(1, 4)= -0.216048; pset1(2, 4)=1.0;pset1(0, 5) = -0.463158; pset1(1, 5)= -0.132632; pset1(2, 5)=1.0;pset1(0, 6) = 0.0801864; pset1(1, 6)= 0.0236417; pset1(2, 6)=1.0;pset1(0, 7) = -0.179068; pset1(1, 7)= 0.0837119; pset1(2, 7)=1.0;//第二幅图像中的对应math::Matrix<double, 3, 8> pset2;pset2(0, 0) = 0.208264 ; pset2(1, 0)= -0.035405 ; pset2(2, 0) = 1.0;pset2(0, 1) = 0.314848 ; pset2(1, 1)=  0.267849 ; pset2(2, 1) = 1.0;pset2(0, 2) = -0.144499; pset2(1, 2)= 0.190208  ; pset2(2, 2) = 1.0;pset2(0, 3) = 0.264461 ; pset2(1, 3)= -0.0404422; pset2(2, 3) = 1.0;pset2(0, 4) = 0.171033 ; pset2(1, 4)= -0.0961747; pset2(2, 4) = 1.0;pset2(0, 5) = -0.427861; pset2(1, 5)= 0.00896567; pset2(2, 5) = 1.0;pset2(0, 6) = 0.105406 ; pset2(1, 6)= 0.140966  ; pset2(2, 6) = 1.0;pset2(0, 7) =  -0.15257; pset2(1, 7)= 0.19645   ; pset2(2, 7) = 1.0;FundamentalMatrix F = fundamental_8_point(pset1, pset2);std::cout<<"Fundamental matrix after singularity constraint is:\n "<<F<<std::endl;std::cout<<"Result should be: \n"<<"-0.0315082 -0.63238 0.16121\n"<<"0.653176 -0.0405703 0.21148\n"<<"-0.248026 -0.194965 -0.0234573\n" <<std::endl;return 0;
}//Created by sway on 2018/8/29./* 测试8点法求取基础矩阵F** [直接线性变换法]* 双目视觉中相机之间存在对极约束**                       p2'Fp1=0,** 其中p1, p2 为来自两个视角的匹配对的归一化坐标，并表示成齐次坐标形式，* 即p1=[x1, y1, z1]', p2=[x2, y2, z2],将p1, p2的表达形式带入到* 上式中，可以得到如下表达形式**          [x2] [f11, f12, f13] [x1, y1, z1]*          [y2] [f21, f22, f23]                = 0*          [z2] [f31, f32, f33]** 进一步可以得到* x1*x2*f11 + x2*y1*f12 + x2*f13 + x1*y2*f21 + y1*y2*f22 + y2*f23 + x1*f31 + y1*f32 + f33=0** 写成向量形式*               [x1*x2, x2*y1,x2, x1*y2, y1*y2, y2, x1, y1, 1]*f = 0,* 其中f=[f11, f12, f13, f21, f22, f23, f31, f32, f33]'** 由于F无法确定尺度(up to scale, 回想一下三维重建是无法确定场景真实尺度的)，因此F秩为8，* 这意味着至少需要8对匹配对才能求的f的解。当刚好有8对点时，称为8点法。当匹配对大于8时需要用最小二乘法进行求解**   [x11*x12, x12*y11,x12, x11*y12, y11*y12, y12, x11, y11, 1]*   [x21*x22, x22*y21,x22, x21*y22, y21*y22, y22, x21, y21, 1]*   [x31*x32, x32*y31,x32, x31*y32, y31*y32, y32, x31, y31, 1]* A=[x41*x42, x42*y41,x42, x41*y42, y41*y42, y42, x41, y41, 1]*   [x51*x52, x52*y51,x52, x51*y52, y51*y52, y52, x51, y51, 1]*   [x61*x62, x62*y61,x62, x61*y62, y61*y62, y62, x61, y61, 1]*   [x71*x72, x72*y71,x72, x71*y72, y71*y72, y72, x71, y71, 1]*   [x81*x82, x82*y81,x82, x81*y22, y81*y82, y82, x81, y81, 1]**现在任务变成了求解线性方程*               Af = 0*（该方程与min||Af||, subject to ||f||=1 等价)*通常的解法是对A进行SVD分解，取最小奇异值对应的奇异向量作为f分解**本项目中对矩阵A的svd分解并获取其最小奇异值对应的奇异向量的代码为*   math::Matrix<double, 9, 9> V;*   math::matrix_svd<double, 8, 9>(A, nullptr, nullptr, &V);*   math::Vector<double, 9> f = V.col(8);***[奇异性约束]*  基础矩阵F的一个重要的性质是F是奇异的，秩为2，因此有一个奇异值为0。通过上述直接线性法求得*  矩阵不具有奇异性约束。常用的方法是将求得得矩阵投影到满足奇异约束得空间中。*  具体地，对F进行奇异值分解*               F = USV'*  其中S是对角矩阵，S=diag[sigma1, sigma2, sigma3]*  将sigma3设置为0，并重构F*                       [sigma1, 0,     ,0]*                 F = U [  0   , sigma2 ,0] V'*                       [  0   , 0      ,0]*/

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