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🎯要点

使用化学反应网络方法分析细胞信号并绘制分叉图。
探索细胞决策过程的子网络动力学因素。
构建化学反应网络中质量守恒关系矩阵计算方式、质量作用动力学数学关系，将反应动力学简化为一个常微分方程计算。
根据平衡流形和反应多面体的方程定义雅可比矩阵。

🍁生物细胞分析

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🍇MATLAB雅可比矩阵和网络图

在 MATLAB 中，Jacobian（雅可比矩阵）用于描述多变量函数对每个变量的偏导数。对于给定的多变量向量函数 ( f(x) )，雅可比矩阵定义为函数各个分量对变量的偏导数组成的矩阵，通常用于优化、非线性系统的解、微分方程数值解等问题。

1. Jacobian的基本形式

对于一个向量函数 ( $f(x) = [f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x)]$ )，其中 ( $x = [x_1, x_2, ..., x_n]$ )，雅可比矩阵 ( J ) 的形式如下：
$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\ \end{bmatrix}$
其中每个元素 ( $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ ) 是函数 ( $f_i$ ) 对变量 ( $x_j$ ) 的偏导数。

2. MATLAB 中计算 Jacobian 的方法

MATLAB 提供了不同的方法来计算雅可比矩阵，最常用的是 jacobian 函数（属于 Symbolic Math Toolbox），适用于符号表达式。

示例：使用符号变量计算 Jacobian

假设我们有一个多变量函数：
$\begin{bmatrix} x^2 + y^2 \\ x \cdot y \end{bmatrix}$
求其雅可比矩阵。

syms x y
f = [x^2 + y^2; x * y]; % 定义向量函数
vars = [x, y];          % 定义变量
J = jacobian(f, vars);   % 计算雅可比矩阵
disp(J)

结果

执行上述代码后，MATLAB 将输出雅可比矩阵：
$\begin{bmatrix} 2x & 2y \\ y & x \end{bmatrix}$

解释

syms x y 声明 x 和 y 为符号变量。
f = [x^2 + y^2; x * y]; 定义多变量向量函数。
jacobian(f, vars); 计算函数 f 关于变量 x 和 y 的雅可比矩阵。

3. 使用数值求解 Jacobian

如果没有 Symbolic Math Toolbox 或者您有数值数据，也可以通过数值方法求解。例如，可以使用 MATLAB 的 diff 或有限差分法近似雅可比矩阵。不过，通常在数值优化和求解器中，MATLAB 的 fsolve 或 lsqnonlin 等函数会自动计算数值雅可比矩阵。

示例：数值雅可比矩阵（有限差分法）

对于函数 ( $[x^2 + y^2, x \cdot y]$ ) 在点 ( $(x, y) = (1, 2)$ ) 处的雅可比矩阵，可以使用数值求解。

% 定义函数句柄
f = @(x) [x(1)^2 + x(2)^2; x(1) * x(2)];% 点 (x, y) = (1, 2)
x0 = [1; 2];% 计算雅可比矩阵
J_num = jacobianest(f, x0); % 使用 File Exchange 的 jacobianest
disp(J_num)

4. 雅可比矩阵在非线性系统中的应用

雅可比矩阵在非线性优化、非线性方程求解和微分方程系统中尤为重要。

在 MATLAB 中，网络图（graph）用于表示点（节点）和连接这些点的边（关系）的结构。网络图可以用于多种应用场景，包括社交网络分析、交通网络建模、电路分析等。

MATLAB 提供了专门的函数和类用于创建、可视化和分析网络图，主要通过 graph 和 digraph（有向图）类来操作。

1. 创建网络图

MATLAB 中可以通过定义边（边的起点和终点）来创建无向图和有向图。这里是基本的步骤和示例：

创建无向图

无向图的边是没有方向的，边 ((i, j)) 等价于边 ((j, i))。

% 定义边的起点和终点
s = [1 1 2 3 3]; % 起点节点
t = [2 3 3 4 5]; % 终点节点% 创建无向图
G = graph(s, t);% 可视化网络图
plot(G)

创建有向图

有向图的边是有方向的，边 ((i, j)) 和边 ((j, i)) 是不同的。

% 定义有向图的起点和终点
s = [1 1 2 3 3];
t = [2 3 3 4 5];% 创建有向图
G = digraph(s, t);% 可视化有向网络图
plot(G)

2. 为边和节点添加权重和标签

边和节点可以带有权重或标签，这些信息可以用于网络分析。

添加边的权重

% 定义起点和终点
s = [1 1 2 3 3];
t = [2 3 3 4 5];% 定义边的权重
weights = [10 20 30 40 50];% 创建无向图并添加权重
G = graph(s, t, weights);% 绘制网络图，显示边的权重
p = plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight);

在此示例中，边的权重通过 EdgeLabel 显示在图中。

添加节点的标签

% 创建图节点
nodeNames = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E'};% 创建无向图
G = graph(s, t);% 设置节点名称
G.Nodes.Name = nodeNames';% 绘制网络图，显示节点标签
p = plot(G, 'NodeLabel', G.Nodes.Name);

3. 网络图分析

MATLAB 提供了多种用于分析网络图的函数。例如，您可以计算最短路径、度中心性、连通性等。

计算最短路径

% 定义有向图
s = [1 1 2 3 3];
t = [2 3 3 4 5];
weights = [10 20 30 40 50];
G = digraph(s, t, weights);% 计算节点 1 和节点 5 之间的最短路径
[distance, path] = shortestpath(G, 1, 5);% 显示结果
disp(['最短路径长度: ', num2str(distance)]);
disp(['经过的节点: ', num2str(path)]);

计算节点的度（Degree）

% 定义无向图
G = graph([1 1 2 3 3], [2 3 3 4 5]);% 计算节点的度
nodeDegree = degree(G);% 显示每个节点的度
disp(nodeDegree);

4. 使用邻接矩阵

在一些情况下，网络图可以通过邻接矩阵来表示，邻接矩阵是一种方阵，矩阵中的元素表示节点之间是否存在连接。

使用邻接矩阵创建网络图

% 定义邻接矩阵
A = [0 1 1 0 0;1 0 1 1 0;1 1 0 1 1;0 1 1 0 1;0 0 1 1 0];% 通过邻接矩阵创建无向图
G = graph(A);% 绘制网络图
plot(G)

5. 动态更新网络图

MATLAB 中可以动态更新网络图结构，添加或删除节点和边。

添加节点和边

% 创建初始图
G = graph([1 2], [2 3]);% 添加节点和边
G = addedge(G, 3, 4); % 添加从节点 3 到 4 的边
G = addnode(G, 'NewNode'); % 添加新的节点% 绘制网络图
plot(G)

删除节点和边

% 创建图
G = graph([1 2 3], [2 3 4]);% 删除节点 3
G = rmnode(G, 3);% 删除从节点 1 到 2 的边
G = rmedge(G, 1, 2);% 绘制网络图
plot(G)

6. 网络图的高级应用

MATLAB 提供了更为复杂的网络分析功能，适用于研究复杂网络的拓扑结构、优化流量、模拟电力网络等。常用的高级功能包括：

连通性分析：检查图的连通分量，如 conncomp 函数。
网络流：在图中计算最大流和最小割，如 maxflow 和 mincut。
群体检测：例如社交网络中的社区检测，可以使用 cluster。