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一、AVL树的概念

AVL树是最先发明的自平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：
它的左右子树都是AV树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。
AVL树是⼀颗高度平衡搜索⼆叉树， 通过控制高度差去控制平衡。

• AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
• AVL树实现这里我们引入⼀个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何
  结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，
  AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡， 就像⼀个风向标⼀样。
• 思考⼀下为什么AVL树是高度平衡搜索⼆叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法作为高度差是0。
• AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

二、AVL树的实现

1. AVL树的结构

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
private:Node * _root = nullptr;
};

2. AVL树的插⼊

2.1 AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程

• 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
• 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
• 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束。
• 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

2.2 平衡因⼦更新

更新原则

• 平衡因子 = 右子树高度-左子树高度
• 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子
• 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在
  parent的左子树，parent平衡因子 - -
• parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件

• 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前 parent子树⼀边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。
• 更新后parent的平衡因子等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent子树两边⼀样高，新增的插入结点后，parent所在的子树⼀边高⼀边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上 更新。
• 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent子树⼀边高⼀边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理

更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上⼀层，更新结束

最坏更新到根停⽌

2.3 插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转//右单旋if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}//左单旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//左右旋RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//右左旋RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;
}

3. 旋转

旋转的原则

1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋

右单旋

• 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，
  是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/ 图5进行了详细描述。
• 在a子树中插入⼀个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平
  衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原
  则。如果插入之前10整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上⼀层，插入结束了。

//右旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* Pparent = parent->_parent;if (subLR){subLR->_parent = parent;}subL->_right = parent;parent->_parent = subL;parent->_left = subLR;if (Pparent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subL;}else{Pparent->_right = subL;}subL->_parent = Pparent;}parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}

左单旋

• 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要
  求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，
  是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类似。
• 在a子树中插入⼀个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平
  衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上⼀层，插入结束了。

//左旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* Pparent = parent->_parent;if (subRL){subRL->_parent = parent;}subR->_left = parent;parent->_parent = subR;parent->_right = subRL;if (Pparent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subR;}else{Pparent->_right = subR;}subR->_parent = Pparent;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;
}

左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行⼀个左单旋，以10为旋转点进行⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

图7和图8分别为左右双旋中h=0和h=1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。
• 场景2：h >=1时，新增结点插⼊在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。
• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。
  

//左右旋
void RotateLR(Node* parent)
{//subL subLR parentNode* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else{assert(false);}
}

右左双旋

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c子树抽象为⾼度h的AVL子树进⾏分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为12和左子树⾼度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察12的平衡因子不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >=1时，新增结点插⼊在e子树，e子树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。
• 场景2：h >=1时，新增结点插⼊在f子树，f子树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。
• 场景3：h ==0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

//右左旋
void RotateRL(Node* parent)
{//parent subRL subRNode* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

4.高度

//高度
int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr){return 0;}int left = _Height(root->_left);int right = _Height(root->_right);return left > right ? left + 1 : right + 1;
}

5.结点个数

//结点个数
int _Size(Node* root)
{if (root == nullptr){return 0;}return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}

6.判断是否是AVL树

//判断
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{//空树也是AVL树if (root == nullptr){return true;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

7. 中序遍历

//中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);
}

8.查找

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

三、源代码

AVL.h

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K,V>* _left;AVLTreeNode<K,V>* _right;AVLTreeNode<K,V>* _parent;pair<K,V> _kv;int _bf;//节点的平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转//右单旋if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}//左单旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//左右旋RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//右左旋RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}//右旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* Pparent = parent->_parent;if (subLR){subLR->_parent = parent;}subL->_right = parent;parent->_parent = subL;parent->_left = subLR;if (Pparent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subL;}else{Pparent->_right = subL;}subL->_parent = Pparent;}parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}//左旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* Pparent = parent->_parent;if (subRL){subRL->_parent = parent;}subR->_left = parent;parent->_parent = subR;parent->_right = subRL;if (Pparent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subR;}else{Pparent->_right = subR;}subR->_parent = Pparent;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}//左右旋void RotateLR(Node* parent){//subL subLR parentNode* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else{assert(false);}}//右左旋void RotateRL(Node* parent){//parent subRL subRNode* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}int Height(){return _Height(_root);}int Size(){return _Size(_root);}bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}private://高度int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int left = _Height(root->_left);int right = _Height(root->_right);return left > right ? left + 1 : right + 1;}//结点个数int _Size(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}//判断bool _IsBalanceTree(Node* root){//空树也是AVL树if (root == nullptr){return true;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}//中序遍历void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

//#include "a.h"
#include "AVL.h"
#include <vector>void test01()
{AVLTree<int, int> t;/*pair<int, int> p(1, 2);cout << p.first << " " << p.second << endl;t.Insert(p);t.Insert({1,1});*/int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e, e });}t.InOrder();cout << t.Size() << endl;cout << t.Height() << endl;cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}void test02()
{const int N = 1000000;vector<int> v;v.reserve(N);srand((unsigned)time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back((int)(rand() + i));}size_t begin2 = clock();AVLTree<int, int> t;for (auto e : v){t.Insert(make_pair(e, e));}size_t end2 = clock();cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;cout << t.IsBalanceTree() << endl;cout << "Height:" << t.Height() << endl;cout << "Size:" << t.Size() << endl;size_t begin1 = clock();// 确定在的值/*for (auto e : v){t.Find(e);}*/// 随机值for (size_t i = 0; i < N; i++){t.Find(((int)(rand() + i)));}size_t end1 = clock();cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}int main()
{//test01();test02();return 0;
}