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一、二叉搜索树

1. 概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树

int[] array = {5,3,4,1,7,8,2,6,0,9};

2. 查找

3. 插入

1. 如果树为空树，即根 == null，直接插入

2. 如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点

4. 删除

设待删除结点为 cur，待删除结点的双亲结点为 parent 。

1. cur.left == null

cur 是 root，则 root = cur.right
cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right
cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right

2. cur.right == null

cur 是 root，则 root = cur.left
cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left
cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left

3. cur.left != null && cur.right != null

需要使用替换法进行删除，即在 cur 的右子树中寻找中序遍历的下一个结点 temp (也就是cur右子树中最左下的节点) 以及该节点的前驱 pre，用 temp 的值填补到被删除节点 cur 中，即cur.val = temp.val; 再来处理 temp 结点的删除问题。注意：最终找到的 temp 节点的值一定是 cur 的右子树中值最小的，且一定有 temp.left = null。
当 temp 节点就是 cur.right 时，此时一定是 tpre = cur，则让 tpre.right = temp.right;
当 temp 节点是 cur.right，然后再一直往左走时，直到走到最左端，则让 tpre.left = temp.right 。

5. 代码实现

public class BinarySearchTree {public class TreeNode{public TreeNode left;public TreeNode right;public int val;public TreeNode(int val) {this.val = val;}}public TreeNode root = null;//查找public TreeNode search(int key){if(root == null){return null;}TreeNode cur = root;while (cur != null){if (cur.val > key){cur = cur.left;}else if(cur.val < key){cur = cur.right;}else {return cur;}}return null;}//插入public boolean insert(int key){TreeNode node = new TreeNode(key);if(root == null){root = node;return true;}TreeNode prev,cur;prev = root;cur = root;while (cur != null){if(cur.val > key){prev = cur;cur = cur.left;}else if(cur.val < key){prev = cur;cur = cur.right;}else {return false;}}if(prev.val > key){prev.left = node;}else {prev.right = node;}return true;}//删除public boolean remove(int key){TreeNode cur = root;TreeNode parent = root;while (cur != null){if (cur.val > key){parent = cur;cur = cur.left;}else if(cur.val < key){parent = cur;cur = cur.right;}else {removeNode(parent,cur);return true;}}return false ;}private void removeNode(TreeNode parent, TreeNode cur){if(cur.left == null){    // cur左右孩子都为null的情况也会默认在次处理。if(cur == root){root = root.right;}else if(parent.left == cur){parent.left = cur.right;}else{parent.right = cur.right;}}else if(cur.right == null){if(cur == root){root = root.left;}else if(parent.left == cur){parent.left = cur.left;}else{parent.right = cur.left;}}else {       // 左右孩子都不为null。if (cur == root){root = null;}// 用temp找到cur右子树中最左下的节点。// 两种情况：1.当cur.right没有左子树时，cur右子树中最左下的节点是cur.right;//         2.当cur.right有左子树时,cur右子树中最左下的节点是cur.right, 然后一直往左走。TreeNode temp = cur.right;TreeNode tprev = cur;while (temp.left != null){tprev = temp;temp = temp.left;}cur.val = temp.val;if(tprev.left == temp){tprev.left = temp.right;}else{tprev.right = temp.right;}}}//中序遍历public void inOrder(TreeNode root){if (root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);}
}

6. 性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为： $\log_{2}n$

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为： $\frac{n}{2}$

问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都可以是二叉搜索树的性能最佳？

答：为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树(BalancedBinary Tree)，也称 AVL树。定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0或1。

7. 平衡二叉树

7.1 定义

平衡二叉树可定义为或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过 1。

7.2 调整

平衡二叉树的调整。

8. 和 Java 类集的关系

TreeMap 和 TreeSet 即 Java 中利用搜索树实现的 Map 和 Set；实际上用的是红黑树，而红黑树是一棵近似平衡的二叉搜索树，即在二叉搜索树的基础之上 + 颜色以及红黑树性质验证。