二分查找-69.x的平方根

题目描述

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。 由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

思路讲解

计算非负整数x的算术平方根的整数部分，如果不使用任何内置的指数函数或算符，我们可以采用暴力解法（也称为直接法或枚举法）。这种方法的基本思路是从0开始逐个尝试，直到找到一个数，其平方不超过x，并且这个数的下一个数的平方会大于x。

int mySqrt(int x) {  if (x == 0) return 0; // 特殊情况处理  for (int i = 1; i <= x; ++i) {  if (i * i <= x && (i + 1) * (i + 1) > x) {  // 找到i，使得i*i <= x且(i+1)*(i+1) > x  // 直接返回i即可，因为题目要求只保留整数部分  return i;  }  }  // 理论上这行代码不会被执行到，因为上面的循环肯定会找到满足条件的i  // 但为了代码的完整性，还是加上这一行  return -1; // 返回一个不可能的值，表示出错（实际上这种情况不会发生）  
}  

但是，直接遍历从0到x的所有数是非常低效的。为了计算非负整数x的算术平方根的整数部分，我们可以采用二分查找法。考虑到平方根的性质，我们可以设定一个查找范围从0到x（因为x的平方根肯定小于或等于x），并在这个范围内进行二分查找。

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if (x < 1) {return 0;}int left = 1, right = x;while (left < right) {long long mid = left + (right - left + 1) / 2;if (mid * mid <= x) {left = mid;} else if (mid * mid > x) {right = mid - 1;}}return left;}
};

实现步骤：

1. 边界条件检查：
   • 首先，函数检查输入 x 是否小于 1。如果是，那么 x 的平方根整数部分必然是 0（因为 0 和 1 的平方根整数部分都是 0），所以直接返回 0。
2. 初始化二分查找的边界：
   • 接着，函数初始化两个指针（或索引）left 和 right，分别指向查找范围的左右边界。由于平方根的值至少为 0（对于非负整数 x），且最大不超过 x（因为 sqrt(x) * sqrt(x) = x），所以 left 被初始化为 1（因为 0 的情况已经在边界条件中处理过了），right 被初始化为 x。
3. 执行二分查找：
   • 函数进入一个 while 循环，条件是 left < right。这个循环会一直执行，直到 left 和 right 相等，此时它们就指向了平方根的整数部分（或者比它大1的最小整数，但在接下来的步骤中会被正确处理）。
   • 在每次循环中，函数计算中点 mid。这里使用了 long long 类型来存储 mid，以防止在计算 mid * mid 时发生整数溢出。计算 mid 时使用了 (right - left + 1) / 2，这实际上是一种“向上取整”的除法操作（在整数除法中），但它在这里的主要作用是确保当 left 和 right 相邻时，mid 会等于 right（从而避免无限循环）。
   • 然后，函数检查 mid * mid 与 x 的关系：
     • 如果 mid * mid <= x，说明 mid 可能是我们要找的平方根的整数部分（或者比它大），所以将 left 更新为 mid，继续在右半部分查找。
     • 如果 mid * mid > x，说明 mid 太大了，所以将 right 更新为 mid - 1，在左半部分继续查找。
4. 返回结果：
   • 当 while 循环结束时，left 和 right 相等，且它们指向了平方根的整数部分（因为我们在每次循环中都将范围缩小了，直到无法再缩小为止）。所以，函数返回 left（或 right，因为此时它们是相等的）作为结果。