线性代数：多个随机变量相加的方差

对于多个随机变量相加的方差，我们可以按照独立和不独立的情况进行讨论。

1. 独立情况下的证明

假设我们有 $n$ 个独立的随机变量 $X_1,X_2,\dots ,X_n$。

根据方差的性质，如果随机变量是独立的，则它们的方差可以直接相加：
$\text{Var}(X_1+X_2+\dots +X_n)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\dots +\text{Var}(X_n)$
证明：

1. 首先，计算期望：$\mathbb{E}[X_1+X_2+\dots +X_n]=\mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_2]+\dots +\mathbb{E}[X_n]$
2. 然后，使用方差的定义：$\text{Var}(X_1+X_2+\dots +X_n)=\mathbb{E}[(X_1+X_2+\dots +X_n-\mathbb{E}[X_1+X_2+\dots +X_n]{)}^2]$
3. 展开并使用独立性：$=\mathbb{E}\left[{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mathbb{E}[X_i]{)}^2+{\sum }_{i\ne j}(X_i-\mathbb{E}[X_i])(X_j-\mathbb{E}[X_j])\right]$对于独立的随机变量，协方差项的期望值为零，因此最后的公式为：$={\sum }_{i=1}^n\text{Var}(X_i)$

2. 不独立情况下的证明

如果 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是不独立的随机变量，则需要考虑它们之间的协方差。

方差的计算公式为：
$\text{Var}(X_1+X_2+\dots +X_n)={\sum }_{i=1}^n\text{Var}(X_i)+{\sum }_{i\ne j}2\text{Cov}(X_i,X_j)$
证明：

1. 使用方差的定义：$\text{Var}(X_1+X_2+\dots +X_n)=\mathbb{E}[(X_1+X_2+\dots +X_n-\mathbb{E}[X_1+X_2+\dots +X_n]{)}^2]$
2. 展开平方：$={\sum }_{i=1}^n\mathbb{E}[(X_i-\mathbb{E}[X_i]{)}^2]+{\sum }_{i\ne j}\mathbb{E}[(X_i-\mathbb{E}[X_i])(X_j-\mathbb{E}[X_j])]$
3. 第一项为方差，第二项为协方差的两倍和。
   最终，我们得到：
   $\text{Var}(X_1+X_2+\dots +X_n)={\sum }_{i=1}^n\text{Var}(X_i)+{\sum }_{i\ne j}2\text{Cov}(X_i,X_j)$

总结

• 独立情况下：$\text{Var}(X_1+X_2+\dots +X_n)={\sum }_{i=1}^n\text{Var}(X_i)$
• 不独立情况下：$\text{Var}(X_1+X_2+\dots +X_n)={\sum }_{i=1}^n\text{Var}(X_i)+{\sum }_{i\ne j}2\text{Cov}(X_i,X_j)$