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伽辽金法原理介绍

伽辽金法是一种基于变分原理的数值方法，用于求解微分方程的近似解。这种方法的核心思想是将微分方程转化为一个变分问题，通过最小化残差（方程左边与右边之差）的某种范数来找到近似解。

基本原理

1. 变分原理：对于给定的微分方程，我们可以构造一个与之相关的泛函（变分问题），使得微分方程的精确解能够使得这个泛函达到极值（最小值或最大值）。

2. 近似解的形式：在伽辽金法中，我们假设解可以表示为一组基函数的线性组合，即：
   $$u(x)\approx \sum _{i=1}^n{C}_i{\varphi }_i(x)$$
   其中，${\varphi }_i(x)$ 是预先选定的基函数，$\ C_i $ 是待定系数。

3. 残差：将近似解代入微分方程，得到残差$ R(x) $：
   $$R(x)=L\left(\sum _{i=1}^n{C}_i{\varphi }_i(x)\right)-f(x)$$
   其中，$ L $ 是微分算子，$ f(x) $ 是微分方程的非齐次项。

4. 正交性条件：为了使残差最小，我们选择一组权函数 $ w(x) $，并要求残差与每个权函数的乘积在定义域上的积分为零，即：
   $${\int }_a^{b}w(x)R(x)dx=0$$
   这称为正交性条件。

5. 求解系数：通过正交性条件，我们可以得到一个关于系数 $ C_i $ 的线性方程组，求解这个方程组可以得到系数的近似值。

6. 近似解：将求得的系数代入近似解的形式中，得到微分方程的近似解。

特点与应用

伽辽金法的主要优点是能够处理复杂的边界条件，并且可以系统地改善近似解的精度，通过增加基函数的数量。这种方法在有限元分析中得到了广泛的应用，特别是在固体力学和流体力学等领域。

问题描述

使用伽辽金法求解二阶微分方程：
$$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}-u=-x,0<x<1$$
边界条件为：
$$u(0)=0,u(1)=0$$
权函数设为：
$$w=x(1-x)$$
近似解设为：
$$u(x)=C_{1}x(1-x)$$

求解步骤

1. 计算近似解的导数：
   $$u(x)=C_{1}x(1-x)$$
   $$u^{\prime }(x)=C_1(1-2x)$$
   $$u^{\prime \prime }(x)=-2C_1$$

2. 计算残值：
   $$R(x)=\frac{d^{2}u}{d{x}^2}-u-(-x)=-2C_1-C_{1}x(1-x)+x$$

3. 将权函数乘以残值并积分：
   $${\int }_0^{1}wR(x)dx=0$$
   $${\int }_0^{1}x(1-x)\left(-2C_1-C_{1}x(1-x)+x\right)dx=0$$

4. 计算积分：
   $${\int }_0^{1}x(1-x)\left(-2C_1-C_{1}x(1-x)+x\right)dx$$
   $$={\int }_0^1\left(-2C_{1}x(1-x)-C_1{x}^2(1-x{)}^2+x^2(1-x)\right)dx$$
   $$=-2C_1{\int }_0^{1}x(1-x)dx-C_1{\int }_0^1{x}^2(1-x{)}^{2}dx+{\int }_0^1{x}^2(1-x)dx$$

   计算三个积分：
   $${\int }_0^{1}x(1-x)dx={\int }_0^1(x-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$
   $${\int }_0^1{x}^2(1-x{)}^{2}dx={\int }_0^1{x}^2(1-2x+x^2)dx={\int }_0^1(x^2-2x^3+x^4)dx$$
   $$={\left[\frac{x^3}{3}-\frac{2x^4}{4}+\frac{x^5}{5}\right]}_0^1=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{10-15+6}{30}=\frac{1}{30}$$
   $${\int }_0^1{x}^2(1-x)dx={\int }_0^1(x^2-x^3)dx={\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$$

   代入结果：
   $$-2C_1\cdot \frac{1}{6}-C_1\cdot \frac{1}{30}+\frac{1}{12}=0$$
   $$-\frac{C_1}{3}-\frac{C_1}{30}+\frac{1}{12}=0$$
   $$-\frac{10C_1+C_1}{30}+\frac{1}{12}=0$$
   $$-\frac{11C_1}{30}+\frac{1}{12}=0$$
   $$-\frac{11C_1}{30}=-\frac{1}{12}$$
   $$\frac{11C_1}{30}=\frac{1}{12}$$
   $$11C_1=\frac{30}{12}$$
   $$11C_1=\frac{5}{2}$$
   $$C_1=\frac{5}{22}$$

5. 写出最终的近似解：
   $$u(x)=C_{1}x(1-x)=\frac{5}{22}x(1-x)$$

最终答案

$$\boxed{u(x)=\frac{5}{22}x(1-x)}$$

python求解

import sympy as sp
x,C1=sp.symbols('x,C1')
u='C1*x*(1-x)'
u=sp.sympify(u)
w=sp.diff(u,C1)
R=sp.diff(u,x,2)-u+x
I=sp.integrate(w*R,(x,0,1))
res=sp.solve(I,C1)
print(res)