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（观前提醒，这是工科AI相关的数学基础的学习笔记，不是数学专业的文章，所以没有严谨的证明和定义，数院大神请勿批评）

1. 向量空间

1.1 定义和例子

在数学中，空间这个概念本质上是满足一定条件的集合。而向量空间，总的来说，就是定义了加法和数乘这两种运算的集合。

1.1.1 集合

【定义】集合（ $\boldsymbol{S}$ ）是指具有某种特定性质的总体。

比如说，把所有整数放在一起定义整数集 $\mathbb{Z}=\{\cdots,-1,0,1,\cdots\}$ .
实数集 $\mathbb{R}$ .
有限集合，比如 ${1,3,4\}$ .

1.1.2 阿贝尔群

在一个集合之上定义加法运算 $\boldsymbol{S}\times\boldsymbol{S}\to\boldsymbol{S}$ （这是笛卡尔积，在笛卡尔积中，每个元素都与另一个集合中的每个元素形成一对，这样就生成了所有可能的组合。这里如果非要看懂详见本人文章：【数学分析笔记】第1章第1节：集合（3））：

交换律： $w + v = v + w$ ；
结合律： $(u + v) + w = u + (v + w)$ ；
加法恒等： $v + 0 = v$
加法逆元： $v + (- v) = 0$

满足上述四条加法运算规则的集合就是阿贝尔群（ $\boldsymbol{A},+$ ）。典型的例子有：

定义了加法运算的整数集 $\{\mathbb{Z},+\}:2+1=3$ ；
定义了加法运算的实数集 $\{\mathbb{R}, +\}:3.1+1.3=4.4$ .

1.1.3 向量空间

在阿贝尔群之上如果再定义一个数乘运算： $\mathbb{R}\times\boldsymbol{V}\to\boldsymbol{V}$ ，并且数乘运算的各种性质：

$\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v$
$(\lambda + \mu)v=\lambda v+\mu v$
$(\lambda \mu)v=\lambda (\mu v)$
$1\cdot v=v$

满足上述性质，就得到了向量空间（ $\boldsymbol{V},+,\mathbb{R}$ ）。所谓数乘元素，就是让一个元素和一个实数相乘。典型的例子：

$n$ 维实数空间，一般记作 $\mathbb{R}^{n},n\geqslant 1,n\in\mathbb{Z}$ ，（ $\mathbb{R}^{n},+,\mathbb{R}$ ）；
当 $n = 3$ 的时候，我们的 $n$ 维实数空间就可以想象成一个取定坐标系的三维空间（ $\mathbb{R}^{3},+,\mathbb{R}$ ）

$x, y, z$ 轴代表空间里面的三个坐标轴，原点用一个 $O$ 来表示。空间中的任意一个点 $P$ 可以用一组实数列表来表示，实数列表中的每一个值代表空间当中的点在每个坐标轴上的投影。

1.2 向量及其运算。

1.2.1 向量及其表示方式

向量空间中的元素就叫向量。（可以比做一个装苹果的箱子和箱子中的苹果的关系，如果向量是苹果，那么向量空间就是装苹果的箱子）
在低维实数空间中，向量可以被想成是一个起点在坐标原点，有长度有方向的箭头。但在高维空间中我们就没法想象了，因为我们自己都不知道高维空间长什么样子。
所以，对于每一个向量，一个更通用的表示方式是可以用一个 $n$ 维实数列表表示，比如 $\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \cdots \\ v_n \end{bmatrix}$ 或 $[v_1,v_2,\cdots,v_n]$ ，前者叫列向量，后者叫行向量，其中第 $i$ 个数 $v_i$ 称为该向量的第 $i$ 个分量。数学上，向量一般也用粗体的字母，比如 $\boldsymbol{V}$ ，或者加右箭头的小写字母比如 $\vec{v}$ 来表示。

1.2.2 向量的运算

向量的运算主要包括加法和数乘（以列向量为例）：

加法： $\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \cdots \\ v_{n} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} w_{1} \\ w_{1} \\ \cdots \\ w_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} v_{1}+w_{1} \\ v_{2}+w_{2} \\ \cdots \\ v_{n}+w_{n} \end{array}\right]$ ，从几何角度理解就是：把其中一个向量的箭头尾部放到另外一个向量的箭头上进行平移，首尾向量得到的向量就是相加的结果。
数乘： $\lambda\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \ldots \\ v_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \lambda w_{1} \\ \lambda w_{1} \\ \ldots \\ \lambda w_{n} \end{array}\right]$ ，向量的数乘本质上是向量在空间里的伸缩，伸缩的方向和伸缩的长度取决于数乘的数的大小，数是正数，那么方向和之前方向一致，乘负数，方向相反

1.3 向量组的线性组合

1.3.1 向量组

若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。

1.3.2 向量组的线性组合

给定向量组 $\boldsymbol{A}:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 和一组实数 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ ，那么：

$\lambda_{1} \mathbf{a}_{1}+\lambda_{2} \mathbf{a}_{2}+\cdots+\lambda_{m} \mathbf{a}_{\mathrm{m}}$
就叫做向量组 $\boldsymbol{A}$ 的线性组合。这个式子就是我们刚才提到的向量数乘和加法运算复合而来的。

1.3.3 向量组的线性表示（线性组合）

如果存在一个向量 $\boldsymbol{b}$ ，使得：
$\mathbf{b}=\lambda_{1} \mathbf{a}_{1}+\lambda_{2} \mathbf{a}_{2}+\cdots+\lambda_{m} \mathbf{a}_{\mathrm{m}}$
则向量 $\mathbf{b}$ 是向量组 $\boldsymbol{A}$ 的线性组合，这时也叫向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示。
向量的线性组合能够帮助我们理解后面我们要学到的基的这个概念。
向量空间中的任何一个向量，都可以看做是对基向量的缩放和相加操作，都可以写成两个基向量的线性组合，比如图中的 $3\vec{i}$ .

线性组合的概念也可以帮助我们理解Span（张成空间）这个概念，假设空间中有两个向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ ，它们的线性组合即 $\lambda_1 \vec{v}+\lambda_2 \vec{w}$ ，形成的新向量，可能充满整个向量空间（不断地调整 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的大小，可以形成很多的新向量），由这无数个新向量组成的集合称为张成空间：

1.4 向量组的线性相关性

给定向量组 $\boldsymbol{A}:\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{\mathrm{m}}$ ，如果存在不全为零的数 $\lambda_{1}, \quad \lambda_{2} \cdots, \lambda_{m}$ ，使得：
$\lambda_{1} \mathbf{a}_{1}+\lambda_{2} \mathbf{a}_{2}+\cdots+\lambda_{m} \mathbf{a}_{\mathrm{m}}=\mathbf{0}$
则称向量组 $\boldsymbol{A}$ 是线性相关的，否则称它为线性无关。
如下图：

如果 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 形成一个夹角，无论怎么对 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 进行伸缩或者相加，它们都不可能得到零向量，除非你让 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 都伸缩到零向量，然后再让它们相加，它们才是零向量，这种情况下就是线性无关的；另外一种情况， $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 在同一条线上，把任何一个向量拉伸到反方向，就和另一个向量相加变为零向量了，这就是线性相关。