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摘要

本博文深入分析了dbN小波构造的原理，并附上了相应的Matlab代码，以及一个具体的实例演示来求解dbN滤波器。

一、dbN小波构造原理

dbN 小波的构造过程如下：

$\stackrel{◯}{1}$ 输入$N.$

$②$ 计算$P(y)=P_N(y)={\sum }_{k=0}^{N-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-1+k}{k}\right)y^k,y={\sin }^2\frac{\omega }{2}$,开方运算需要将其转换为复

指数形式：

$$\begin{array}{rl}L.(\omega )& =\sum _{k=0}^{N-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-1+k}{k}\right)({\sin }^2\frac{\omega }{2}{)}^k\\ & =\sum _{k=0}^{N-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-1+k}{k}\right)(\frac{1-\cos \omega }{2}{)}^k\\ & =\sum _{k=0}^{N-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-1+k}{k}\right)(\frac{1-\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega }+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega }}{2}}{2}{)}^k\\ & \end{array}$$$={\sum }_{k=0}^{N-1}{a}_k$$({\mathrm{e}}^{in}+{\mathrm{e}}^{-in}-2{)}^k$

$$=\sum _{k=0}^{N-1}{a}_k{\left({\mathrm{e}}^{i2n}-2{\mathrm{e}}^{in}+1\right)}^k$$

式中，$a_k=(-1{)}^t\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-1+k}{k}\right)}{2^{2k}}=\frac{(N-1+k)!}{2^{2k}k!(N-1)!}$,于是$a_k=(-1)a_{k-1}\frac{1}{4}\left(\frac{N-1+k}{k}\right)$。

③ 令$Z={\mathrm{e}}^{i\omega },L_{}(\omega )$展开成$Z$的多项式，求出多项式的根。由 Riesz 引理，可以通过对根的排序，选择一半根进行多项式重构，如此可以完成开方运算，即计算得到$l(\omega )$。

$\stackrel{◯}{4}$求解$H(\omega )={\left(\frac{1}{+}{\mathrm{e}}^{-i\omega }2\right)}^{N}l(\omega )$。

$\stackrel{◯}{5}$对应系数，得到低通滤波器 { h k } k ∘ \{h_k\}_k\circ {hk​}k​∘

二、求解dbN滤波器实例

function  hn=dbfilter(N)
%输入初值DbN的消失矩N，滤波器的长度为2N
a = 1;p = 1;q = 1;
hn=[1,1];
for k=1:N-1hn = conv(hn,[1,1]);%卷积得到二项式系数，即描述(1+e^(-iw))^k的展开系数a = -a*0.25*( N -1 + k)/k;%计算a(k)p = conv(p,[1,-2,1]);%卷积得到三项式系数，即描述(e^(iw) +e^(-iw)-2)^kq = [0 q 0]+a*p;%q表示求和运算，计算整个L(w)的系数分布
end
%求出L(w)的多项式的根，并排序
Q_root = sort(roots(q)) ;
%求出以L(w)的前N-1个根构成的多项式，real是实部，t的长度为N
t = real(poly(Q_root(1:N-1)));
%完成H(w)= (1+e^(-iw))^N* l(w)，hn为前面循环中卷积到N得到的hn，t相当于l(w) 
hn = conv(hn,t) ;
%归一化，保证hn的求和为sqrt(2)
hn = hn*sqrt(2)/sum(hn) ;% function hn=dbfilter(n2)
% a = 1;p = 1;q = 1;
% hn=[1,1];
% for j=1:n2-1
%     hn = conv(hn,[1,1])%二项式系数=nchoosek
%     a = -a*0.25*(j+n2-1)/j%数值
%     p = conv(p,[1,-2,1])%length(p)+3-1,2k平方项
%     q = [0 q 0]+a*p%q的长度和p相同，与上一个q差头尾两个元素
% end
% 
% qq = sort(roots(q))%求出多项式的根，并排序，相当于L（w）
% %此处t相当于l（w）
% t = real(poly(qq(1:n2-1)))%求出以q的前n2-1个根构成的多项式，real是实部，t的长度为n2
% %(1+e^(-iw))^N相当于前面卷积后的hn，t相当于l(w)
% hn = conv(hn,t)%二项式系数与t的卷积，n2+1,卷上n2长度的（n2+1）+(n2)-1
% hn = hn*sqrt(2)/sum(hn)%保证hn的求和为sqrt（2）

在命令窗口输入一下命令，直接运行子程序，即可获得滤波器：

>> hn=dbfilter(5)hn =0.1601    0.6038    0.7243    0.1384   -0.2423   -0.0322    0.0776   -0.0062   -0.0126    0.0033

三、Matlab程序获取与开发

本博文演示结果均由Matlab代码实现，可私信博主获取，博主联系方式在文章最底部。

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博主简介：擅长智能优化算法、信号处理、图像处理、机器视觉、深度学习、神经网络等领域Matlab仿真以及实验数据分析等，matlab代码问题、商业合作、课题选题与指导等均可私信交流。

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