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1. 空间域图像增强的背景与目标

2. 空间域处理的数学描述

3. 灰度级变换

4. 幂律变换（Power-Law Transformation）

5、分段线性变换

Case 1: 对比度拉伸

Case 2: 灰度切片

Case 3: 按位切片

6、对数变换（Logarithmic Transformation）

7、对比度拉伸（Contrast-Stretching Transformation）

8、直方图均衡

（1）直方图的定义

（2）直方图归一化

（3）直方图生成与显示

（4）直方图的对比分析

（5）代码示例

（6）直方图均衡化

i、目标：

ii、概率密度函数 (PDF) 和累计分布函数 (CDF)

iii、直方图均衡的变换函数

iv、离散版本的直方图均衡

9、直方图匹配

1. 原理概述

2. 直方图匹配的步骤

Step 1: 计算输入图像的累积分布函数 (CDF)

Step 2: 计算目标图像的累积分布函数 (CDF)

Step 3: 建立映射关系

Step 4: 应用映射

1. 空间域图像增强的背景与目标

图像增强的目标：通过处理图像使其对特定应用更适合。这里强调“特定应用”是问题导向的，因此增强方法没有统一的理论标准。
分类：
- 空间域方法：直接操作图像的像素。
- 频域方法：基于傅里叶变换的操作。
图像处理的评价：
- 对于视觉感知，评价取决于人类观察效果。
- 对于机器感知，如字符识别，评价通过任务完成度衡量。

2. 空间域处理的数学描述

数学表达式： $g(x, y) = T[f(x, y)]$ ，其中 $T$ 是一个操作符，可作用于像素的某个邻域。
邻域选择：通常使用方形或矩形邻域，因其易于实现。
最简单形式为强度变换，表示为 $s = T(r)$ ，即像素值的变换。

3. 灰度级变换

作用：调整图像像素值以实现增强效果。
示例中展示了不同的变换函数（例如S型和阶梯型），对应灰度范围从暗到亮的不同映射。
效果：调整对比度或强调特定灰度范围。

4. 幂律变换（Power-Law Transformation）

数学公式： $s = c r^\gamma$ ，通过调节 $\gamma$ 控制对比度。

典型应用：
- Gamma校正：用于显示器的线性响应矫正。
- 对比度增强：通过不同 $\gamma$ 值调整图像的细节和亮度。
下图展示了在医疗图像和航空图像中，通过不同的 $\gamma$ 值实现对比增强效果。

5、分段线性变换

Case 1: 对比度拉伸

内容：图像的对比度拉伸通过增强低对比度区域来提高图像的视觉质量。
方法：
- 输入灰度值 $r$ 与输出灰度值 $T(r)$ 之间建立分段线性关系。
- 拉伸低对比度部分（通过设定阈值 $r_1, r_2$ ）。
- 示例：在原始低对比度图像上应用对比度拉伸，明显提高了对比度，增强了视觉效果。

Case 2: 灰度切片

内容：通过灰度切片方法突出特定灰度范围的特性。
方法：
- 两种形式：将感兴趣的灰度范围值保留，其他灰度值置为常数；或保留所有灰度值，但突出特定范围。
- 应用：医学影像中，突出特定组织或结构。

Case 3: 按位切片

内容：按位切片以分离图像的不同比特平面。
方法：
- 图像由 8 个位平面组成，从最不重要位 (LSB) 到最重要位 (MSB)。
- 应用：观察 MSB 可以捕获主要图像结构，LSB 常用于存储隐藏数据（如水印）。

6、图像处理工具箱中的函数 imadjust

功能：imadjust 是 MATLAB 的图像处理工具箱中用于调整图像强度值分布的函数。
语法：g = imadjust(f, [low_in high_in], [low_out high_out], gamma)
- 参数解释：
  - low_in, high_in：输入强度值的范围。
  - low_out, high_out：映射到的输出强度值范围。
  - gamma：控制曲线的非线性程度。
特点：
- gamma < 1：增强较暗区域的亮度。
- gamma > 1：增强较亮区域的亮度。
- 默认情况下，gamma = 1 表示线性映射。

示例：
- 通过不同的参数组合调整乳腺图像对比度，以更清晰地观察病变区域。

图1左侧是从一个乳腺影像文件（Fig0303(a)(breast).tif）读取的，使用 imshow(I) 显示该图像，显示的是原始未处理的乳腺 X 光片。

图1右侧使用 G = imadjust(I, [0 1], [1 0]) 对原始图像进行处理，这种调整会产生一个负片效果，即原本亮的区域变暗，暗的区域变亮，显示负片的目的是强调图像中原本不明显的结构特征，方便分析。

图2左侧：对部分强度范围增强

使用 G = imadjust(I, [0.5 0.75], [0 1])。
参数 [0.5 0.75] 选择了图像输入强度值的中间部分进行增强（从 0.5 到 0.75 的灰度范围）。
输出 [0 1] 将这些强度范围映射到全新的灰度范围，增强了这一范围的对比度。
结果是更强烈的对比，突出原图中特定强度范围的细节。

图2右侧：伽马变换增强

使用 G = imadjust(I, [], [], 2)。
参数 [] 表示默认的输入强度范围 [0 1] 和输出强度范围 [0 1]，2 是伽马值。
伽马值为 2 表示对暗部区域的灰度值进行放大（权重偏向暗部区域），使得暗部区域的细节更加清晰。
用于强调图像中的低灰度特征。

6、对数变换（Logarithmic Transformation）

目的：压缩动态范围。对数变换常用于处理动态范围较大的图像数据，例如傅里叶频谱图。
公式： $s = c \cdot \log(1 + r)$ ，其中 $c$ 是常数。
用途：
- 压缩高动态范围数据，例如从 $[0, 10^6]$ 压缩到较小范围。
- 通过 MATLAB 中的命令实现，例如 g = im2uint8(mat2gray(log(1 + double(f))))。
例子：傅里叶频谱图

7、对比度拉伸（Contrast-Stretching Transformation）

公式： $s = \frac{1}{1 + (\frac{m}{r})^E}$ ，其中 $m$ 为强度阈值， $E$ 控制函数的斜率。

作用：
- 将较低或较高的输入灰度值压缩到更窄的范围。
- 提高图像对比度，尤其适合灰度值分布范围有限的图像。
MATLAB 实现：通过对应的公式，使用 double 数据类型进行计算。

8、直方图均衡

（1）直方图的定义

图像的直方图是强度值的分布统计，是增强、压缩、分割和描述等图像处理操作的基础。
，其中：
- $r_k$ ：第 $k$ 个强度值；
- $n_k$ ：强度值为 $r_k$ 的像素数量。

（2）直方图归一化

通过归一化直方图，可以将像素数量转化为概率分布： $p(r_k) = \frac{h(r_k)}{N}$ 这里 $N$ 是总像素数。直方图归一化可以表示为灰度值强度的概率估计。

（3）直方图生成与显示

使用 MATLAB 函数 imhist 和 bar 绘制直方图：
- imhist(f, b)：计算直方图， $b$ 是灰度级分箱的数量。
- bar(horz, h1, width)：绘制条形图，其中 horz 为横轴刻度，h1 为直方图数据。

（4）直方图的对比分析

直方图可以帮助可视化图像的亮度分布。例如：
- 暗图像的直方图主要集中在灰度较低的部分；
- 亮图像的直方图主要集中在灰度较高的部分。

（5）代码示例

生成直方图：

f = imread('Fig3_8_a.tif');
h = imhist(f);
bar(h);

绘制条形直方图：

s = imread('Fig0303(a).tif');
h1 = imhist(s, 16);
horz = 1:16;
bar(horz, h1, 0.8);

（6）直方图均衡化

i、目标：

增强图像的对比度。
将图像的灰度分布调整为近似均匀分布。

ii、概率密度函数 (PDF) 和累计分布函数 (CDF)

PDF（概率密度函数）：
- 图像中每个灰度级的出现概率。
- 定义为：其中：
  - $r_k$ 是灰度级，
  - $n_k$ 是灰度级 $r_k$ 的像素个数，
  - N 是总像素数。
CDF（累计分布函数）：
- 累计分布函数是 PDF 的积分，用来表示灰度值从最小到当前灰度值的累计概率： $T(r_k) = \sum_{j=0}^k p_r(r_j)$ 或连续形式： $T(r) = \int_0^r p_r(w) dw$ 累计分布函数的值范围是 [0,1]。

iii、直方图均衡的变换函数

直方图均衡的变换函数恰好就是累计分布函数：

变换函数被定义为原始灰度级概率密度函数的累积分布函数 $T(r)$ ：

$s = T(r) = \int_0^r p_r(w) \, dw$

其中 $w$ 是积分的中间变量，代表从 0 到 $r$ 的所有灰度级， $s$ 是变换后的灰度值，是近似均匀分布的。

本质：将原图像的灰度级 $r_k$ 按上述累积分布函数映射为新的灰度级 $s_k$ 。这个过程实现了原始灰度分布到均匀分布的调整，最终得到对比度均衡化的图像。

定性理解：原灰度值比较集中的区域，概率密度比较大，概率密度的累计函数增长比较快，从而使得较短的就灰度值区域转换为较长的新的灰度值区域，即让原灰度值集中的区域分散；而原灰度值比较分散的区域，概率密度比较小，概率密度的累计函数增长缓慢，使得较长的原灰度值区域被转换为角度的新灰度值区域，即让原灰度值分散的区域集中。

证明新的灰度值分布 s 服从均匀分布：

推导新的概率密度函数 $p_s(s)$ ，

$p_s(s)$ 的定义为： $p_s(s) = p_r(r) \left| \frac{dr}{ds} \right|$
根据变换 $T(r)$ 的定义（ $s=T(r)$ ），求导得： $\frac{dT(r)}{dr} = p_r(r) \implies \frac{dr}{ds} = \frac{1}{p_r(r)}$
代入 $p_s(s)$ 的表达式： $p_s(s) = p_r(r) \cdot \frac{1}{p_r(r)} = 1$
结论： 经过变换后，新的灰度级概率密度函数 $p_s(s)$ 是均匀分布，满足直方图均衡化目标。

iv、离散版本的直方图均衡

在实际实现中，图像是离散的，其灰度级的概率密度可以表示为：
$p_r(r_k) = \frac{n_k}{N}$
其中 $n_k$ 是灰度级 $r_k$ 的像素数量， $N$ 是图像总像素数。
累积分布函数的离散形式为：
$T(r_k) = s_k = \sum_{j=0}^k p_r(r_j) = \sum_{j=0}^k \frac{n_j}{N}$
这意味着每个像素的新的灰度级 $s_k$ 由其对应的累积概率决定。

9、直方图匹配

直方图匹配（Histogram Matching 或 Histogram Specification）是一种图像处理技术，其目标是将输入图像的直方图调整为目标图像或目标直方图的分布。相比于直方图均衡化，直方图匹配允许更灵活地调整图像的灰度分布，以适应特定需求。

1. 原理概述

直方图匹配的核心是将输入图像 $f$ 的灰度级分布调整为与目标图像 $g$ 的灰度级分布相同。

输入图像直方图： $H_f(r)$ ，表示输入图像中灰度级 $r$ 的概率分布。
目标直方图： $H_g(z)$ ，表示目标图像中灰度级 $z$ 的概率分布。

通过设计一个映射函数 $T(r)$ ，使得调整后的灰度分布 $s = T(r)$ 匹配目标直方图。

2. 直方图匹配的步骤

Step 1: 计算输入图像的累积分布函数 (CDF)

输入图像灰度级 $r$ 的累积分布函数定义为：

$S(r) = \int_0^r p_r(w) \, dw$

或者在离散情况下：

$S(r_k) = \sum_{j=0}^k \frac{n_j}{N}$

其中：

$n_j$ 是灰度级 $r_j$ 的像素数量。
$N$ 是图像总像素数。

$S(r)$ 是原始概率密度 $p_r(r)$ 到均匀分布的映射。

Step 2: 计算目标图像的累积分布函数 (CDF)

目标图像灰度级 $z$ 的累积分布函数定义为：

$G(z) = \int_0^z p_g(w) \, dw$

或者在离散情况下：

$G(z_k) = \sum_{j=0}^k \frac{m_j}{M}$

其中：

$m_j$ 是目标直方图中灰度级 $z_j$ 的像素数量。
$M$ 是目标图像的总像素数（或者是目标直方图的总和）。

$G(z)$ 是目标图像灰度值概率密度 $p_g(r)$ 到均匀分布的映射； $G^{-1}(z)$ 是均匀分布到目标图像灰度值概率密度 $p_g(r)$ 的映射。而这里的均匀分布如果采用映射 $S(r)$ 的输出，那么就实现了原图灰度值概率密度 $p_r(r)$ 到目标图概率密度 $p_g(r)$ 的转换。

Step 3: 建立映射关系

输入图像中每个灰度值 $r_k$ 的对应映射 $z$ 满足：

$S(r_k) = G(z_k)$ ，这两个映射的结果都是均匀分布，所以相等。

通过求解 $z_k$ ，找到 $r_k$ 到 $z_k$ 的映射关系。

在离散情况下，通过最近邻法或插值找到 $z_k$ 与 $r_k$ 的对应关系： $z_k = G^{-1}(S(r_k))$

Step 4: 应用映射

对输入图像的每个像素值 $r_k$ ，通过上述映射关系 $T(r_k) = z_k$ 替换其值，最终获得直方图匹配后的图像。