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目录
2.2模糊集合论基础
2.2.1模糊集的概念
2.2.2 模糊集合的运算
例题
2.2.5 模糊关系
1.模糊关系的定义
2.模糊关系的合成
2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成
2.3.2 模糊逻辑的基本逻辑
2.2模糊集合论基础
2.2.1模糊集的概念
模糊控制是以模糊集合论作为它的数学基础。那么，什么是模糊集合？它是怎样描述和定义的？又有那些运算？这些问题都是学习和掌握模糊控制技术的基础。经典集合论中任意一个元素与一个集合之间的关系，只能是“属于”或者“不属于”，两者比居其一且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素组合。在处理清晰。明确性的问题时达到了高度的严密性和精确性。
模糊集合则是把它扩展为从0到1之间的连续变化值来描述元素的属于程度。这个连续变化值又称作隶属度函数，这就是说，有些元素可以部分是真而部分是假。模以人对室温（0-40度）的感觉为例，大部分人把从15-25度的室温称之为舒适的温度，而把小于15度以下称之为冷，把25度以上称之为热。如果用经典集合论来定义，则把小于15度的温度哪怕是14.9度称之为冷，显然这与人们的感觉不一致。
若用模糊集合论来讨论上述情况，就是用具有0-1之间变化的特征函数来描述某一模糊元素，模糊集合论中的特征函数就称作隶属度函数。
2.2.2 模糊集合的运算
对于模糊集合，元素与集合之间不存在属于或不属于的明确关系，但是集合与集合之间还是存在相等，包含以及经典集合论一样的一些集合运算，如并，交，补。
模糊集合相等
若有两个模糊集合A和B，对于所有的u属于U，均有他们的隶属度相等，则称模糊集合A与模糊集合B相等，记作A=B。
模糊集合的并集
若有三个模糊集合A,B,C，对于所有的u属于U，均有C的元素的隶属度为A,B对应的元素隶属度取大，则称C为A与B的并集。
模糊集合的交集
若有三个模糊集合A,B,C，对于所有u属于U，均有属于C的元素的隶属度等于A,B对应的元素的隶属度取小，则称为C为A与B的交集
例题
设论语U={u1，u2，u3，u4，u5}中的两个模糊子集为
A=0.6/u1+0.5/u2+1/u3+0.4/u4+0.3/u5
B=0.5/u1+0.6/u2+0.3/u3+0.4/u4+0.7/u5
求A并B，A交B
2.2.4 隶属度函数的建立
隶属度函数的确定是一个难题。本节给出了隶属度函数的几种建立方法。基本上归结为三大类：（1）左大右小的偏小型下降函数（又称为Z函数） 它很适用于输入值比较小的隶属度函数确定。
（2）左小右大的偏大型上升函数（又称S函数） 它很适用于输入值比较大时的隶属度函数确定。
（3）对称型凸函数（又称Π函数）它很适用于输入值位于中间时的隶属度函数确定
2.2.5 模糊关系
1.模糊关系的定义
模糊关系是通过两个论域上的笛卡尔积把一个叫A论域中的元素映射到另一个叫做B的论域上去，这两个论域上的关系强度用隶属度函数在【0，1】区间内的取值来表示
来看以下模糊关系与模糊控制的主要环节模糊推理之间的关系。对于确定的控制系统而言，假设有有如下一条模糊规则
A->B或IF A(U) THEN B(U)
A={1，0.7 0.2 }， B={ 0.8 0.6 0.4 0.2}
对于以上的模糊集合关系可以用直积来表示
2.模糊关系的合成
对于有些系统，存在多重推理现象，如 IF A THEN B, IF B THEN C这样一类控制规则，其控制输出变量是C，那么A与C之间是否存在某种关系呢？
如子女与父母的相似程度可用R表示
父母和祖父母的相似关系可用S来表示
则子女和祖父母的相似程度可用合成来表示
类似于线性代数中矩阵的乘积，只不过用交来取代乘法，用并来取代加法。
2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成
2.3.2 模糊逻辑的基本逻辑
模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值，而是有多个值，甚至是连续量。普通命题的真值相当于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题的真值就是隶属度函数，所以真值的运算也就是隶属度函数的运算。
记P,Q,R为三个模糊命题，那么
模糊逻辑补，用来表示对某个命题的否定，
模糊逻辑合取：
模糊逻辑并取：
模糊逻辑蕴含：如果P是真的，则Q也是真的，
模糊语言逻辑
模糊逻辑原则上是一种模拟人思维的逻辑，要从0~1区间上的确切数值来表达一个模糊命题的真假程度，有时是困难的。人们在日常生活中交流信息用的大多是自然语言，而这种语言是用充满了不确定性的描述来表达具有模糊性的现象和事物。自然语言的模糊性是用充满了不确定性的描述来表达具有模糊性的现象和事物。自然语言的模糊性是由于使用大量的模糊化量词（如较大，较高等）来构成自然语言，因此，从广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都成为模糊语言。在不同的场合，某一模糊概念可以代表不同的意义。如“高个子”，在中国可以把大约1.75到1.85之间的人归结为“高个子这个模糊概念里”，而在欧洲，可能把大约在1.80到1.90之间的人归结为高个子这个模糊概念里，而在欧洲，可能把大约在1.8到1.9之间的人归结于“高个子这个模糊概念里。模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。因此，在讨论机器模拟人的思维，推理和判断之前，先引进几个重要的概念。
定义2-15 模糊数 连续论域U中的模糊数F是一个U上的正规凸模糊集。
那就是说，以实数集合为全集合，一个具有连续隶属度函数的正规右介凸模糊集合就称为模糊数。它实质上是一个模糊子集。这里，所谓正规模糊集合的含义就是隶属度函数的最大值为1”，且论域中至少有1个元素u的隶属度为1.用数学表达式表示就是
正规集合
图2-10（a）和图2-10（b）分别给出了正规模糊集和次正规模糊集的示意图。
凸集合： 在隶属度函数曲线上任意两点之间曲线上的任一点所表示的隶属度都大于或等于两点隶属度中较小的一个。