CSP 2023 提高级第一轮 CSP-S 2023初试题 程序阅读第三题解析

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

一、题目阅读

（第 k 小路径）给定一张 n 个点 m 条边的有向无环图，定点编号从 0 到 n−1，对于一条路径，我们定义“路径序列”为该路径从起点出发依次经过的顶点编号构成的序列。求所有至少包含一个点的简单路径中，“路径序列”字典序第 k 小的路径。保证存在至少 k 条路径。上述参数满足 1≤n,m≤105,1≤k≤1018。

在程序中，我们求出从每个点出发的路径数量。超过 1018 的数都用 1018 表示。然后我们根据 k 的值和每个顶点的路径数量，确定路径的起点，然后可以类似地依次求出路径中的每个点。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>const int MAXN = 100000;
const long long LIM = 1000000000000000000ll;int n, m, deg[MAXN];
std::vector<int> E[MAXN];
long long k, f[MAXN];int next(std::vector<int> cand, long long &k) {std::sort(cand.begin(), cand.end());for (int u : cand) {if (①) return u;k -= f[u];}return -1;
}int main() {std::cin >> n >> m >> k;for (int i = 0; i < m; ++i) {int u, v;std::cin >> u >> v; // 一条从u到v的边E[u].push_back(v);++deg[v];}std::vector<int> Q;for (int i = 0; i < n; ++i)if (!deg[i]) Q.push_back(i);for (int i = 0; i < n; ++i) {int u = Q[i];for (int v : E[u]) {if (②)Q.push_back(v);--deg[v];}}std::reverse(Q.begin(), Q.end());for (int u : Q) {f[u] = 1;for (int v : E[u])f[u] = ③;}int u = next(Q, k);std::cout << u << std::endl;while (④) {⑤;u = next(E[u], k);std::cout << u << std::endl;}return 0;
}

二、代码分析

题目地意思是有一张有向无环图，任意一个顶点开始通过相连边到达某个顶点算一个路径，比如说1，2有边相连，那么1算一条路径，1 -> 2算一条路径，2也算一条。

按字典序排好后就是：1，1 -> 2，2。

代码解析：

首先处理各个顶点之间的关系，并拓扑排序，然后倒过来（这是动态规划的常态，从最后开始。变色部分会解释）

接下来时整个推算过程。

f[i]表示以 i 为起点的路径总数，那么我们可以推算出这样的一个公式。

f[u] = f[E[u][0]]+f[E[u][1]]+...+f[E[u][n]]   +  1

E[u][1, 2, ... , n]代表u的邻接节点。

为什么呢？假设u只有一个邻接节点v，u为起点的路径总数个数是1(u->v) + f[v](u->v->...，其中v->...部分就是f[v])。

看到第41行，我们知道 f 数组是用来存放以某个节点为起点的路径数量，那么我们应该去遍历它的每个邻接节点，这就是为什么要反转结果了，反转之后，与其他关联最多的总是已经处理（请注意，拓扑排序不是那度数排序！别踩坑）。

然后我们计算出以它为起点出发的路径数量。

next函数的作用如下：

        接着我们第一次调用next函数。

        cand就是Q。

        将它排好序之后就是第一个顶点的选择，那么按字典序来肯定选最小的啊，所以我们取了第一个元素。

        接着按照题意，我们应该看看，我以u做起点的路径个数够不够k，如果够了，那么就不要往下了，反正肯定就是以u开始了。如果不够，那还要取下一个节点做开始，以此类推......

        当够了的时候，我们要把k减小，减小前面的总个数。（这好比把单位一点一点缩小）

        接着每次将对应起点的临界矩阵送给next函数同样道理地处理......

三、题目分析

1. ①处应填（）

A. k >= f[u]

B.  k <= f[u]
C.  k > f[u]
D.  k < f[u]

2. ②处应填（）

A. deg[v] == 1

B.  deg[v] == 0
C.  deg[v] > 1
D.  deg[v] > 0

3. ③处应填（）

A. std::min(f[u] + f[v], LIM)

B.  std::min(f[u] + f[v] + 1, LIM)
C.  std::min(f[u] * f[v], LIM)
D.  std::min(f[u] * (f[v] + 1), LIM)

4. ④处应填（）

A. u != -1

B. !E[u].empty()

C. k > 0
D.  k > 1

5. ⑤处应填（）

A. K+=f[u]

B.  k-=f[u]
C. --k
D. ++k