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数的拆分

2024-12-12 数的拆分 筛质数 思维

题目大意

给定 ( T ) 个正整数 $a_i$，分别问每个$a_i$ 能否表示为 $x_1^{y_1}\cdot x_2^{y_2}$ 的形式，其中 $x_1,x_2$为正整数，$y_1,y_2$为大于等于 2 的正整数。

解题思路

乍一看题目非常好理解！又一看嘎嘣住了！！！来听我慢慢分析

1. 由这个分解的形式有没有发现似曾相识，就是—分解质因数，只不过这个只分解成了两个，那么根据分解质因数来思考；因为题目中没有要求 $x_1,x_2$ 一定要是质数（虽然在样例中都分解成了质数，那这不正是在暗示你吗？），那么如果一个数分解成了好几个质因子的成绩，我们有没有办法让他合并成两个呢？

   例 ：

   $x=2^4\ast 3^3\ast 5^7$,则$x=(2\ast 5{)}^4\ast (3\ast 5{)}^3$这样不就满足条件了吗，其他的同样也可以构成两个数的幂成绩；

2. 但是，上面说的是可构造的条件，那么当分解的质因数中包含幂指数为1的值，之后不满足题目构造条件

3. 还有一种构造条件，值分解成了一个质因数的分解，那么另一个数就可以用1来补充。

4. 另外补充一个常识，任何大于1 的数都可以通过2或者3 来构造出来，那么对于只有一个因数的值，可以判断当前值是否可以开2次方或者3次方 。

5. 可以先去了解下分解质因数的思想，并且学习一下埃氏筛法筛质数。

Accepted

/*通过筛法去除一定范围内的素数，然后判断其分解的数中的次幂的值即可，还要在前后判断是否可以开2次方或者是三次方
*/#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 10000;
int st[N],primes[N];    // 第二个是存素数的，第一个表示当前值的状态的
int t;  // 表示素数的数量// 判断平方
bool check (ll x) {ll y = sqrtl(x);if(y*y == x) return true;return false;
}// 判断三次方
bool check1(int x) {ll y = pow(x,1.0/3);while(y*y*y <= x) {if(y*y*y == x) return true;y++;}return false;
}// 埃氏筛法
void find_primes() {st[1] = 1;for(int i = 2;i <= N;i++) {if(!st[i]) {primes[t++] = i;// 只筛出来i 的倍数for(int j = i+i;j < N;j+= i) {st[j] = true;}}}
}void sovle () {ll n;cin>>n;// 判断是否为次方形式if(check(n) || check1(n)) {cout<<"yes"<<endl;return ;}// 遍历所有的质数for(int i = 0;i < t;i++) {if(n % primes[i]) continue;int cnt = 0;// 除去质数while(n%primes[i]==0) {cnt++;n /= primes[i];}// 时刻判断着 是否存在一个质因数的幂次为1 if(cnt == 1) {cout<<"no"<<endl;return ;}}// 判断最后剩余的数是否2次方或者是三次方if(check(n) || check1(n)) {cout<<"yes"<<endl;}else {cout<<"no"<<endl;}
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);find_primes();int T; cin>>T;while(T--) sovle();return 0;
}

思考

这个题相对于上一个带权并查集好理解一些，但是考察的也是思维，还有实现的数学方法，多思考多动手！！！

备注

想要一起备赛的同学可以在评论区留言！！！