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从最小作用量原理推导牛顿三大定律

拉格朗日量的直观理解

在开始之前，让我们先理解什么是拉格朗日量（Lagrangian）。拉格朗日量可以简单理解为系统"动能"和"势能"的差值：

$$L=T-V$$

其中 $T$ 是动能，$V$ 是势能。

让我们通过几个简单的例子来理解：

1. 自由落体
   想象你从高处扔下一个球。这个球有：

• 动能 $T=\frac{1}{2}m{v}^2$（由运动产生）
• 势能 $V=mgh$（由高度产生）
  所以它的拉格朗日量是：
  $$L=\frac{1}{2}m{v}^2-mgh$$

2. 弹簧振动
   想象一个弹簧上挂着的小球：

• 动能 $T=\frac{1}{2}m{v}^2$（小球运动产生）
• 势能 $V=\frac{1}{2}k{x}^2$（弹簧压缩或拉伸产生）
  它的拉格朗日量是：
  $$L=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$$

3. 单摆
   想象一个挂在绳子上摆动的小球：

• 动能 $T=\frac{1}{2}m{v}^2$
• 势能 $V=mgh=mgL(1-\cos \theta )$（其中$L$是绳长，$\theta$是摆角）
  拉格朗日量为：
  $$L=\frac{1}{2}m{v}^2-mgL(1-\cos \theta )$$

拉格朗日量的物理意义可以理解为系统的"活力"：

• 动能代表系统的"运动活力"
• 势能代表系统的"储存活力"
• 它们的差值（拉格朗日量）描述了系统的总体状态

最小作用量原理简介

最小作用量原理是物理学中的一个基本原理，它指出物理系统的演化路径是使作用量达到极小值的路径。作用量通常表示为系统的拉格朗日量 $L$ 在时间上的积分：

$$S={\int }_{t_1}^{t_2}Ldt$$

其中，$L$ 是拉格朗日量，$t_1$ 和 $t_2$ 分别是初始时间和终止时间。

变分法基础

变分法是研究泛函取极值的数学方法。在物理学中，我们经常需要找到使某个积分达到极值的函数。设想一条真实路径 $x(t)$ 和一条微小偏离的路径 $x(t)+\delta x(t)$，其中 $\delta x(t)$ 是微小的变分。在路径的端点处，变分为零：

$$\delta x(t_1)=\delta x(t_2)=0$$

欧拉-拉格朗日方程的推导

考虑作用量的变分：

$$\delta S=\delta {\int }_{t_1}^{t_2}L(x,\dot{x},t)dt=0$$

展开变分：

$$\delta S={\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\delta x+\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x}\right)dt=0$$

注意到 $\delta \dot{x}=\frac{d}{dt}(\delta x)$，对第二项进行分部积分：

$${\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x}dt={\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\delta x|}_{t_1}^{t_2}-{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)\delta xdt$$

由于端点处 $\delta x=0$，第一项消失。代回原式：

$$\delta S={\int }_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)\right]\delta xdt=0$$

由于 $\delta x$ 是任意的，根据变分法的基本引理，方括号中的式子必须为零：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

这就是著名的欧拉-拉格朗日方程。它是最小作用量原理的数学表达，也是我们推导牛顿运动定律的基础。

牛顿第一定律

牛顿第一定律（惯性定律）指出，如果一个物体不受外力作用，它将保持静止状态或匀速直线运动状态。我们可以利用前面推导的欧拉-拉格朗日方程来证明这一结论。

假设一个物体的拉格朗日量 $L$ 仅依赖于位置 $x$ 和速度 $\dot{x}$，且不受外力作用：

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$$

其中，$m$ 是物体的质量。将此拉格朗日量代入前面推导的欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

得到：

$$\frac{d}{dt}(m\dot{x})=0$$

这意味着 $m\dot{x}$ 是一个常数，即物体的速度 $\dot{x}$ 保持不变。因此，如果物体不受外力作用，它将保持静止状态或匀速直线运动状态，这就是牛顿第一定律。

牛顿第二定律

牛顿第二定律（加速度定律）指出，物体的加速度与所受外力成正比，且加速度的方向与外力的方向相同。同样可以利用欧拉-拉格朗日方程来推导。

考虑包含势能的拉格朗日量：

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)$$

其中，$V(x)$ 是势能，满足 $F=-\frac{dV}{dx}$。将此拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

得到：

$$\frac{d}{dt}(m\dot{x})+\frac{dV}{dx}=0$$

由于 $F=-\frac{dV}{dx}$，可以得到牛顿第二定律：

$$m\ddot{x}=F$$

牛顿第三定律

牛顿第三定律（作用与反作用定律）同样可以通过欧拉-拉格朗日方程推导。考虑两个相互作用物体的拉格朗日量：

$$L=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{x}}_2^2-V(x_1,x_2)$$

对两个坐标分别应用欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0,i=1,2$$

得到：

$$m_1{\ddot{x}}_1=-\frac{\partial V}{\partial x_1}=F_{12}$$

$$m_2{\ddot{x}}_2=-\frac{\partial V}{\partial x_2}=F_{21}$$

由于势能 $V(x_1,x_2)$ 的对称性，可以证明 $F_{12}=-F_{21}$，这就是牛顿第三定律。

举例说明

为了更好地理解这一过程，可以通过一个具体的例子来说明：一个简单的谐振子。其拉格朗日量为：

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$$

其中，$m$ 是质量，$k$ 是弹性系数。将这个拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程，得到：

$$\frac{d}{dt}\left(m\dot{x}\right)+kx=0$$

简化后得到：

$$m\ddot{x}+kx=0$$

这就是简单谐振子的运动方程。通过这个例子，可以看到，最小作用量原理不仅是物理学中的一个基本原理，还可以用于推导系统的运动方程，从而为牛顿三大定律提供了坚实的理论基础。