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1. 知识点

1.1. 内容结构

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1.2. 无穷小

定义1
如果函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的极限为零，那么称函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$ （或 $x\to \infty$）时的无穷小。

定理1
在自变量的同一变化过程 $x\to x_0$ （或 $x\to \infty$）中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+\alpha$，其中 $\alpha$ 是无穷小。

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1.3. 无穷大

定义2
设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义（或 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|$大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数 $M$ （不论它多么大），总存在正数 $\delta$ （或正数 $X$），只要 $x$ 适合不等式 $0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$ （或 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$），对应的函数值 $f(x)$ 总满足不等式 $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|>M$，则称 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的无穷大。

定理2
在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大；反之，如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x)\ne 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大。

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2. 练习题

2.1 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之。

答：

• 结论：
  两个无穷小的商可能是无穷小，也可能不是无穷小。
• 举例：
  如：$f(x)=\frac{1}{|\begin{array}{c}x\end{array}|}$ 和 $g(x)=\frac{1}{x^2}$，${\lim }_{x\to \infty }f(x)=0$，${\lim }_{x\to \infty }g(x)=0$。
  (1) 商为无穷小的情况：${\lim }_{x\to \infty }\frac{g(x)}{f(x)}={\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{|\begin{array}{c}x\end{array}|}=0$；
  (2) 商非无穷小的情况（此处为无穷大）：${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to \infty }\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|=\infty$。

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2.2 根据定义证明：
(1) $y=\frac{x^2-9}{x+3}$ 为当 $x\to 3$ 时的无穷小；
(2) $y=xsin\frac{1}{x}$ 为当$x\to 0$时的无穷小。

答：

• (1)
  对 $\forall ϵ>0$ （无论它多么小），
  $\exists \delta =ϵ$，
  当 $x\in \mathring{U}(3,\delta )$ 时，
  $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{x^2-9}{，}x+3-0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}x-3\end{array}\right|<\delta =ϵ$ 成立，
  $\therefore {\lim }_{x\to 3}f(x)=0$，
  $\therefore y=\frac{x^2-9}{x+3}$ 为当 $x\to 3$ 时的无穷小。
• (2)
  对 $\forall ϵ>0$ （无论它多么小），
  $\exists \delta =ϵ$，
  当 $x\in \mathring{U}(0,\delta )$ 时，
  $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}xsin\frac{1}{x}-0\end{array}\right|\le \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|<\delta =ϵ$，
  $\therefore {\lim }_{x\to 0}f(x)=0$，
  $\therefore y=xsin\frac{1}{x}$ 为当$x\to 0$时的无穷小。

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2.3 根据定义证明：函数 $y=\frac{1+2x}{x}$ 为当 $x\to 0$ 时的无穷大。问 $x$ 应满足什么条件，能使 $\left|\begin{array}{c}y\end{array}\right|>10^4$?

答：

• (1)
  对 $\forall M>0$ （无论它多么大），
  $\exists \delta =\frac{1}{M+2}$，
  当 $x\in \mathring{U}(0,\delta )$ 时，即 $0<\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|<\frac{1}{M+2}$ 时，
  $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{1+2x}{x}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{1}{x}+2\end{array}\right|\ge \left|\begin{array}{c}\frac{1}{x}\end{array}\right|-2>M+2-2=M$，
  $\therefore {\lim }_{x\to 0}f(x)=\infty$。
• (2)
  结合第(1)部分的解答，有$M=10^4$。
  $x$ 应满足 $0<\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|<\frac{1}{M+2}=\frac{1}{10^4+2}=\frac{1}{10002}$。

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2.4 求下列极限：
(1) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{2x+1}{x}$
(2) ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-x^2}{1-x}$

答：

• (1)
  ${\lim }_{x\to \infty }\frac{2x+1}{x}={\lim }_{x\to \infty }(2+\frac{1}{x})=2$
• (2)
  ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-x^2}{1-x}={\lim }_{x\to 0}(1+x)=1$

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2.5 根据函数极限或无穷大定义，填写下表：

	$f(x)\to A$	$f(x)\to \infty$	$f(x)\to +\infty$	$f(x)\to -\infty$
$x\to x_0$	$\forall ϵ>0$, $\exists \delta >0$, 当 $0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$	$\forall M>0$, $\exists \delta >0$, 当 $0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|>M$	$\forall M>0$, $\exists \delta >0$, 当 $0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$ 时, 有 $f(x)>M$	$\forall M>0$, $\exists \delta >0$, 当 $0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$ 时, 有 $f(x)<-M$
$x\to x_0^{+}$	$\forall ϵ>0$, $\exists \delta >0$, 当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$	$\forall M>0$, $\exists \delta >0$, 当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|>M$	$\forall M>0$, $\exists \delta >0$, 当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时, 有 $f(x)>M$	$\forall M>0$, $\exists \delta >0$, 当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时, 有 $f(x)<-M$
$x\to x_0^{-}$	$\forall ϵ>0$, $\exists \delta >0$, 当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$	$\forall M>0$, $\exists \delta >0$, 当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|>M$	$\forall M>0$, $\exists \delta >0$, 当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时, 有 $f(x)>M$	$\forall M>0$, $\exists \delta >0$, 当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时, 有 $f(x)<-M$
$x\to \infty$	$\forall ϵ>0$, $\exists X>0$, 当 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$	$\forall M>0$, $\exists X>0$, 当 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|>M$	$\forall M>0$, $\exists X>0$, 当 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$ 时, 有 $f(x)>M$	$\forall M>0$, $\exists X>0$, 当 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$ 时, 有 $f(x)<-M$
$x\to +\infty$	$\forall ϵ>0$, $\exists X>0$, 当 $x>X$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$	$\forall M>0$, $\exists X>0$, 当 $x>X$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|>M$	$\forall M>0$, $\exists X>0$, 当 $x>X$ 时, 有 $f(x)>M$	$\forall M>0$, $\exists X>0$, 当 $x>X$ 时, 有 $f(x)<-M$
$x\to -\infty$	$\forall ϵ>0$, $\exists X>0$, 当 $x<-X$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$	$\forall M>0$, $\exists X>0$, 当 $x<-X$ 时, 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|>M$	$\forall M>0$, $\exists X>0$, 当 $x<-X$ 时, 有 $f(x)>M$	$\forall M>0$, $\exists X>0$, 当 $x<-X$ 时, 有 $f(x)<-M$

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2.6 函数 $y=xcosx$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内是否有界？这个函数是否为 $x\to +\infty$ 时的无穷大？为什么？

答：

• (1)
  $y=xcosx$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内无界。
  $\because$ 对 $\forall M>0$ , 当 $x=[M+1]\pi$ 时, $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|=[M+1]\pi >M$,
  $\therefore y=xcosx$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内无界。
• (2)
  $\because$ 当 $x=\frac{(2k+1)\pi }{2}(k\in Z)$ 时，$y=0$
  $\therefore y=xcosx$ 不是 $x\to +\infty$ 时的无穷大。

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2.7 证明：函数 $y=\frac{1}{x}sin\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 上无界。

答：
$\because$ 对 $\forall M>0$, 当 $x=\frac{2}{[2M+1]\pi }\in (0,1]$ 时, $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|=\frac{[2M+1]\pi }{2}>M$$\therefore$ 函数 $y=\frac{1}{x}sin\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 上无界。

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【学习资料】

• 《高等数学（第六版）》 上册，同济大学数学系 编