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题目来源

常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社

书中习题2.1

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1.求下列方程的解

3. $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+y^2}{xy+x^{3}y}$$

变量分离

$$\frac{y}{1+y^2}\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}x}{x(1+x^2)}$$

两边积分

$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+y^2}\mathrm{d}(y^2)=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{(\frac{1}{x^2}+1)}\mathrm{d}\left(\frac{1}{x^2}\right)$$

$$\frac{1}{2}\ln |1+y^2|=-\frac{1}{2}\ln |1+\frac{1}{x^2}|+c_1$$

通解为

$$(1+y^2)(1+\frac{1}{x^2})=c$$

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5. $$(y+x)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}x=0$$

书上给的六个简单二元函数的全微分之一

$$\frac{-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y}{x^2}=\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)$$

原方程可变为

$$\frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2+y^2)+(x^2+y^2)\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}=0$$

$$\frac{\mathrm{d}(x^2+y^2)}{2(x^2+y^2)}+\frac{\mathrm{d}(\frac{y}{x})}{1+(\frac{y}{x}{)}^2}=0$$

$$\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)+\arctan \frac{y}{x}=c$$

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6. $$x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y+\sqrt{x^2-y^2}=0$$

$$x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x+\sqrt{x^2-y^2}\mathrm{d}x=0$$

当 $y^2\ne x^2$ 时

$$\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-y^2}}+\mathrm{d}x=0$$

$$\frac{\mathrm{d}(\frac{y}{x})}{\sqrt{1-(\frac{y}{x}{)}^2}}+\frac{1}{x}\mathrm{d}x=0$$

$$\arcsin \frac{y}{x}+\ln |x|=c$$

另外，代入验证得 $y^2=x^2$ 也是方程的解

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9. $$x(\ln x-\ln y)\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x=0$$

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}\ln \frac{x}{y}$$

令 $u=\frac{x}{y}$ ，即 $x=yu$ ，则原方程变为 $u+y\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=u\ln u$ ，即

$$\frac{\mathrm{d}u}{u(\ln u-1)}=\frac{\mathrm{d}y}{y}$$

$$\ln (\ln u-1)=\ln y+c$$

$$\ln u-1=cy$$

即

$$\ln \frac{x}{y}-1=cy$$