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        L1 Loss（也称为绝对误差损失或曼哈顿损失）是一种常用的损失函数，广泛应用于回归任务中。它的主要目的是衡量模型预测值与真实值之间的差异。

1. L1 Loss 的定义

        L1 Loss 的数学表达式如下：

2. 特点

2.1. 对异常值的鲁棒性：

        L1 Loss 对于异常值（outliers）不如 L2 Loss（均方误差损失）敏感，因为它不会对误差进行平方处理。这使得 L1 Loss 更加鲁棒，适合在存在噪声或异常值的情况下使用。

2.2. 稀疏性：

        在某些情况下，L1 Loss 还可以导致模型参数的稀疏性（如在 Lasso 回归中）。这意味着某些特征的系数可以被压缩到零，从而实现特征选择。

2.3. 优化性质：

        L1 Loss 的梯度在时不连续，这可能导致优化过程中的一些挑战，但通常可以通过现代优化算法（如 Adam）来有效处理。

3. 应用场景

        回归问题：在许多回归问题中，L1 Loss 被用来衡量预测值与真实值之间的绝对差异。

        机器学习模型：在某些机器学习模型（如 Lasso 回归、支持向量机）中，L1 Loss 被用作损失函数。

        信号处理：在信号处理和图像处理等领域，L1 Loss 常用于图像去噪和恢复任务。

        L1 Loss 是一种简单而有效的损失函数，特别适合处理异常值和实现特征选择。它在回归和其他领域中的广泛应用使其成为机器学习和统计建模中的重要工具。

4.梯度计算

L1 Loss（绝对误差损失）的梯度计算过程相对直接。以下是详细的步骤：

计算整体梯度：
整体梯度是所有样本梯度的总和或平均值，结合预测值对参数的导数，如下所示：

总结

L1 Loss 的梯度：L1 Loss 的梯度为：

                1（如果预测值小于真实值）

                −1（如果预测值大于真实值）

                0（如果预测值等于真实值）

整体梯度：整体梯度结合了所有样本的偏导数，通常用于更新模型参数。

通过这些梯度，优化算法（如梯度下降）可以调整模型参数，以最小化 L1 Loss。