黄小宁
【摘要】自有射线概念后的2300年里一直无人能知有长度不同的射线。保距变换和≌图概念是能放大无穷大倍的思维望远镜使人能一下子看到有长度不同的伪重合、伪≌射线。
变量x所取各数也均由x代表，x代表其变域（x所有能取的数组成的集）内任一元。设集A=｛x｝表A各元均由x代表，｛x｝中变量x的变域是A。其余类推。“实数集”R所有非负元x≥0组成R+=｛x≥0｝，这里的x≥0不是表示x可取一切非负数而只是表示x可取R一切非负数。其余类推。与x∈R相异（等）的实数均可表y=x+δ（增量δ可=0也可≠0）。数集A可几何化为数轴上的点集A从而使x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在“管道”g内。R可几何化为R轴。
h定理：点（数）集A=｛x｝（B=｛y｝）任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是|△x|（|△y|），A≌B的必要条件是|△x|=|△y|即|△y|与|△x|是同一距离变量。
证：A各元x保距变为y=y（x）生成B=｛y｝≌A，距离|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即|△y|与|△x|是同一变量。证毕。
将与n∈N最近的自然数k称为与n相邻的自然数，k是n的“邻居”。A={x}={0，1}任两异元的距离|△x|只能取一个数：1。B={x}={0，1，2}中相邻（不相邻）的两数之间的距离|△x|=1（=2）。这说明B任两异元的距离|△x|(x的变域是B) 只能取两个数：1与2。可见|△x|的变域是随着x的变域的不同而不同的。变域不同的两|△x|不是同一距离变量。
R各元x保距变为y=x+1组成｛y｝的几何意义可是R轴即x轴各元点x沿x轴正向保距平移变为点x+δ=y=x+1生成元为点y的y=x+1轴≌x轴即x轴沿本身平移距离1变为y=x+1轴叠压在x轴上。射线R+={x≥0}⊂R轴有子部射线V={x≥1}（R+中点x≥1的全体）⊂R+。射线R+各元点x≥0保距变为点x+δ=y=x+1≥1就使R+沿其正向平移距离1变为射线V′=｛y=x+1≥1｝≌R+。自有函数概念几百年来数学一直认定射线V=V′。V′=｛y=x+1≥1｝中x的变域是R+。V′=｛y=x+1≥1｝（△y=△x）任两异元y与y+△y的距离|△y|=|△x|中的x的变域是R+而V={x≥1}⊂R+任两异元的距离|△x|中的x的变域是V⊂R+——说明这两|△x|不是同一变量，据h定理V′不≌V⊂R+。据≌图概念射线V′不≌V⊂R+说明V′与V⊂R+形状相同大小不同即长度不同从而是伪重合射线。
几百年“V′=V⊂R+”使初等数学误以为：射线R+沿其正向平移可变为其真子集、R+可≌其真子集V，从而使康脱推出错上加错的更重大错误：R+可～其真子集。
本文实际上是黄小宁的长文《直线公理使初等数学一直将各异直线误为同一线——数集相等定义凸显初数一直将各异假R误为R》的一小部分。
参考文献
黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
