【机器学习】隐马尔科夫模型之维特比算法（Viterbi Algorithm）和鲍姆-韦尔奇算法（Baum-Welch Algorithm）

维特比算法和鲍姆-韦尔奇算法是隐马尔可夫模型（HMM）中的两个重要算法，各自解决不同的问题。

1.维特比算法

目的

维特比算法用于解码问题，即在给定观测序列的情况下，找到最可能的隐藏状态序列。

方法

维特比算法是一种动态规划算法，通过递归计算最可能的状态序列的概率来找到最佳路径。

算法步骤

维特比算法是一种动态规划算法，用于在隐马尔可夫模型（HMM）中找到给定观测序列的最可能隐藏状态序列。它通过最大化后验概率来实现这一目标。以下是维特比算法的详细解释，包括数学推导和算法步骤。

问题描述

给定一个HMM模型$\lambda =(\Pi ,A,B)$和一个观测序列 O = { O 1 , O 2 , … , O T } O = \{O_1, O_2, \ldots, O_T\} O={O1​,O2​,…,OT​}，维特比算法的目标是找到最可能的隐藏状态序列 Q = { q 1 , q 2 , … , q T } Q = \{q_1, q_2, \ldots, q_T\} Q={q1​,q2​,…,qT​}，即：

$$Q^{\ast }=\arg \underset{Q}{\max }P(Q|O,\lambda )$$

数学推导

维特比算法通过最大化联合概率$P(Q,O|\lambda )$ 来找到最可能的状态序列，因为：

$$P(Q|O,\lambda )=\frac{P(Q,O|\lambda )}{P(O|\lambda )}$$

最大化$P(Q|O,\lambda )$等价于最大化 $P(Q,O|\lambda )$，因为 $P(O|\lambda )$ 是常数。

联合概率 $P(Q,O|\lambda )$ 可以表示为：

$$P(Q,O|\lambda )=P(O|Q,\lambda )P(Q|\lambda )$$

其中：

$$P(O|Q,\lambda )=\prod _{t=1}^T{b}_{q_t}(O_t)$$

$$P(Q|\lambda )={\pi }_{q_1}\prod _{t=2}^T{a}_{q_{t-1},q_t}$$

因此：

$$P(Q,O|\lambda )={\pi }_{q_1}{b}_{q_1}(O_1)\prod _{t=2}^T{a}_{q_{t-1},q_t}{b}_{q_t}(O_t)$$

动态规划

维特比算法使用动态规划来高效地找到最可能的状态序列。它定义了两个变量：路径概率${\delta }_t(i)$和路径指针 ${\psi }_t(i)$。

路径概率 ${\delta }_t(i)$

${\delta }_t(i)$ 表示在时间$t$状态为$S_i$ 的最优路径的概率：

$${\delta }_t(i)=\underset{q_1,q_2,\dots ,q_{t-1}}{\max }P(q_1,q_2,\dots ,q_{t-1},S_t=S_i,O_1,O_2,\dots ,O_t|\lambda )$$

路径指针 ${\psi }_t(i)$

${\psi }_t(i)$ 记录了状态 $S_i$ 在时间 $t$的最优路径的前一个状态：

$${\psi }_t(i)=\arg \underset{1\le j\le N}{\max }[{\delta }_{t-1}(j)a_{ji}]$$

维特比算法步骤

1. 初始化

对于每个状态$i$：

$${\delta }_1(i)={\pi }_i{b}_i(O_1),1\le i\le N$$

$${\psi }_1(i)=0$$

2. 递推

对于每个时间 $t$ 从$2$到T，以及每个状态$j$：

$${\delta }_t(j)=\underset{1\le i\le N}{\max }[{\delta }_{t-1}(i)a_{ij}]b_j(O_t),2\le t\le T,1\le j\le N$$

$${\psi }_t(j)=\arg \underset{1\le i\le N}{\max }[{\delta }_{t-1}(i)a_{ij}],2\le t\le T,1\le j\le N$$

3. 终止

找到最后一个时刻最优路径的概率：

$$P^{\ast }=\underset{1\le i\le N}{\max }{\delta }_T(i)$$

找到最后一个时刻最优路径的状态：

$$q_T^{\ast }=\arg \underset{1\le i\le N}{\max }{\delta }_T(i)$$

4. 路径回溯

通过路径指针 ${\psi }_t(i)$ 回溯得到最优路径：

$$q_t^{\ast }={\psi }_{t+1}(q_{t+1}^{\ast }),t=T-1,T-2,\dots ,1$$

总结

维特比算法通过以下步骤找到最可能的隐藏状态序列：

1. 初始化：计算初始时刻的路径概率。
2. 递推：利用动态规划递推计算每个时刻的路径概率和路径指针。
3. 终止：找到最优路径的终止状态。
4. 回溯：通过路径指针回溯得到最优路径。

维特比算法是一种高效的动态规划算法，可以在$O(N^{2}T)$ 时间复杂度内解决最优路径问题，其中 $N$是状态数，$T$ 是观测序列长度。

应用场景

维特比算法广泛应用于需要从观测数据中推断隐藏状态序列的场景，如：

• 自然语言处理中的词性标注
• 生物信息学中的基因序列分析
• 语音识别中的语音信号解码

2.鲍姆-韦尔奇算法

目的

鲍姆-韦尔奇算法用于参数学习，即在观测数据的基础上估计隐马尔可夫模型的参数（初始状态概率、状态转移概率和观测概率）。

方法

鲍姆-韦尔奇算法是一种期望最大化（EM）算法，通过迭代优化模型参数来最大化观测数据的似然函数。

1. 背景和定义

假设我们有一个隐马尔可夫模型（HMM），其参数包括：

• 初始状态概率分布 Π = { π i } \Pi = \{\pi_i\} Π={πi​}：${\pi }_i=P(S_1=i)$
• 状态转移概率矩阵 A = { a i j } A = \{a_{ij}\} A={aij​}：$a_{ij}=P(S_{t+1}=j|S_t=i)$
• 观测概率矩阵 B = { b j ( k ) } B = \{b_j(k)\} B={bj​(k)}：$b_j(k)=P(O_t=k|S_t=j)$

其中，$S_t$ 是在时间 $t$ 的隐藏状态，$O_t$ 是在时间 $t$ 的观测值。

2. 算法步骤

Baum-Welch算法通过反复执行以下两步来估计参数：期望步（E步）和最大化步（M步）。

2.1 初始化

首先，为模型参数设定初始值，可以是随机的，也可以基于一些先验知识进行初始化。

2.2 E步（期望步）

在E步中，我们计算给定当前参数估计下的后验概率。具体来说，我们需要计算前向概率、后向概率、${\gamma }_t(i)$ 和 ${\xi }_t(i,j)$。

前向算法

前向算法用于计算在时间 $t$ 观测到部分序列$O_1,O_2,\dots ,O_t$ 且系统处于状态 $i$ 的概率。定义前向变量 ${\alpha }_t(i)$：

$${\alpha }_t(i)=P(O_1,O_2,\dots ,O_t,S_t=i|\theta )$$

递推公式如下：

1. 初始化：${\alpha }_1(i)={\pi }_i{b}_i(O_1)$
2. 递推：${\alpha }_{t+1}(j)=\left({\sum }_{i=1}^N{\alpha }_t(i)a_{ij}\right)b_j(O_{t+1})$

后向算法

后向算法用于计算在时间 $t$ 系统处于状态 $i$ 且从时间$t+1$ 到 $T$ 的观测序列$O_{t+1},O_{t+2},\dots ,O_T$ 的概率。定义后向变量 ${\beta }_t(i)$：

$${\beta }_t(i)=P(O_{t+1},O_{t+2},\dots ,O_T|S_t=i,\theta )$$

递推公式如下：

1. 初始化：${\beta }_T(i)=1$
2. 递推：${\beta }_t(i)={\sum }_{j=1}^N{a}_{ij}{b}_j(O_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)$

计算 ${\gamma }_t(i)$ 和 ${\xi }_t(i,j)$

• (\gamma_t(i))：表示在时间 (t) 系统处于状态 (i) 的概率。

$${\gamma }_t(i)=P(S_t=i|O,\theta )=\frac{{\alpha }_t(i){\beta }_t(i)}{{\sum }_{j=1}^N{\alpha }_t(j){\beta }_t(j)}$$

• ${\xi }_t(i,j)$：表示在时间 $t$ 系统处于状态 $i$ 并且在时间 $t+1$ 转移到状态 (j) 的概率。

$${\xi }_t(i,j)=P(S_t=i,S_{t+1}=j|O,\theta )=\frac{{\alpha }_t(i)a_{ij}{b}_j(O_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)}{{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^N{\alpha }_t(i)a_{ij}{b}_j(O_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)}$$

2.3 M步（最大化步）

在M步中，我们使用E步中的计算结果更新参数估计值。

• 更新初始状态概率分布 $\Pi$：

$${\pi }_i={\gamma }_1(i)$$

• 更新状态转移概率矩阵$A$：

$$a_{ij}=\frac{{\sum }_{t=1}^{T-1}{\xi }_t(i,j)}{{\sum }_{t=1}^{T-1}{\gamma }_t(i)}$$

• 更新观测概率矩阵$B$：

假设观测值是离散的，更新公式为：

$$b_j(k)=\frac{{\sum }_{t=1}^T{\gamma }_t(j)\cdot \mathbb{I}(O_t=k)}{{\sum }_{t=1}^T{\gamma }_t(j)}$$

其中 $\mathbb{I}(O_t=k)$是指示函数，当$O_t=k$ 时取值为1，否则取值为0。

3. 迭代

重复E步和M步，直到参数收敛（即参数变化小于某个阈值）或达到最大迭代次数。

应用场景

鲍姆-韦尔奇算法适用于模型参数未知，需要从数据中学习这些参数的情况，如：

• 生物信息学中的序列比对和基因识别
• 语音识别中的声学模型训练
• 机器翻译中的语言模型训练

3.总结

• 维特比算法：用于在给定观测序列的情况下找到最可能的隐藏状态序列，适用于解码问题。
• 鲍姆-韦尔奇算法：用于估计隐马尔可夫模型的参数，适用于模型参数学习。

这两个算法在HMM的应用中各自发挥着重要作用，维特比算法主要用于推断状态序列，而鲍姆-韦尔奇算法用于训练模型。