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说明

• 本文参照严蔚敏《数据结构(C语言版)题集》一书中包含的问答题和算法设计题目，提供解答和算法的解决方案。
• 请读者在自己已经解决了某个题目或进行了充分的思考之后，再参考本解答，以保证复习效果。
• 由于作者水平所限，本解答中一定存在不少这样或者那样的错误和不足，希望读者们在阅读中多动脑、勤思考，争取发现和纠正这些错误，写出更好的算法来。

3.27 已知Ackerman函数的定义如下

$$akm(m,n)=\{\begin{array}{ll}akm(m-1,akm(m,n-1))& m\ne 0,n\ne 0\\ akm(m-1,1)& m\ne 0,n=0\\ n+1& m=0\end{array}$$
（1）写出递归算法；
（2）写出非递归算法；
（3）根据非递归算法，画出求$akm(2,1)$时栈的变化过程。

解：

（1）递归算法如下

int akm(int m,int n){int a,g;if(m==0) a=n+1;else if(n==0) a=akm(m-1,1);else{g=akm(m,n-1);a=akm(m-1,g);}return a;
}

（2）非递归算法如下

#include<stdio.h>
#define STACK_SIZE 50000
typedef struct{int mval;int nval;
} ElemType;typedef struct{int top;
} Stack;ElemType space[STACK_SIZE];void init_stack(Stack *ps){ps->top=0;
}int stack_empty(Stack s){return !s.top;
}void push(Stack *ps,ElemType e){if(ps->top>=STACK_SIZE) return;space[ps->top++]=e;
}void pop(Stack *ps,ElemType *pe){if(ps->top<=0) return;*pe=space[--ps->top];
}int get_top(Stack s,ElemType *pe){if(s.top<=0) return 0;else{*pe=space[s.top-1];return 1;}
}int akm(int m,int n){int a,g;if(m==0) a=n+1;else if(n==0) a=akm(m-1,1);else{g=akm(m,n-1);a=akm(m-1,g);}return a;
}void print_space(Stack s){int i;for(i=0;i<STACK_SIZE;i++){if(i==s.top)printf("[");printf("{%d,%d}",space[i].mval,space[i].nval);if(i==s.top)printf("]");}printf("\n");
}int akm_nonr(int m,int n){Stack s;ElemType e,et;init_stack(&s);e.mval=m;e.nval=n;push(&s,e);do{if(!get_top(s,&e)) break;while(e.mval){if(!get_top(s,&e)) break;while(e.nval){e.nval--;push(&s,e);}pop(&s,&e);e.mval--;e.nval=1;push(&s,e);}if(s.top>1){pop(&s,&e);et.nval=e.nval;pop(&s,&e);e.mval--;e.nval=et.nval+1;push(&s,e);}if(!get_top(s,&et)) break;}while(s.top>1||et.mval>0);pop(&s,&et);//print_space(s);return et.nval+1;
}int main(){int m,n;m=2,n=1;do{printf("%d\n",akm(m,n));printf("%d\n",akm_nonr(m,n));scanf("%d %d",&m,&n);}while(m>0&&n>0);return 0;
}

这里的非递归算法并没有按照书后的答案走捷径，
严格使用栈的操作，
每当需要改变栈顶元素的值，
都是先出栈，改了以后就入栈。

（3）$akm(2,1)$时栈的变化过程如下

对栈中元素的操作	栈的内容[方括号中间是栈顶元素]
push({2,1})	[{2,1}]
push({2,0})	{2,1}[{2,0}]
change top value	{2,1}[{1,1}]
push({1,0})	{2,1}{1,1}[{1,0}]
change top value	{2,1}{1,1}[{0,1}]
pop() to e={0,1}	{2,1}[{1,1}]
change top value	{2,1}[{0,2}]
pop() to e={0,2}	[{2,1}]
change top value	[{1,3}]
push({1,2})	{1,3}[{1,2}]
push({1,1})	{1,3}{1,2}[{1,1}]
push({1,0})	{1,3}{1,2}{1,1}[{1,0}]
change top value	{1,3}{1,2}{1,1}[{0,1}]
pop() to e={0,1}	{1,3}{1,2}[{1,1}]
change top value	{1,3}{1,2}[{0,2}]
pop() to e={0,2}	{1,3}[{1,2}]
change top value	{1,3}[{0,3}]
pop() to e={0,3}	[{1,3}]
change top value	[{0,4}]
pop() to e={0,4}	result=4+1=5

注意此题中m和n的选择，
在可以忍受的时间范围内算到m=3和n=10就很不错了，
继续算，对时间和空间的需求是很高的，
算到m=4和n=1时，50000个栈空间可能就不够了，
所以需要更大的内存和处理速度才能得到结果，
虽然此题的运算过程有明显的规律，
但目前还没有找到快速得到结果的公式。