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快速乘法简介

快速乘法（也称为“快速幂的乘法扩展”）是一种用于高效计算两个数乘积的算法，特别适合处理大数或在某些特定环境（如计算机低层次硬件实现）中优化乘法运算。其核心思想是将乘法分解为一系列加法和位移操作，从而减少计算复杂度。

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1. 基础思想

快速乘法基于二进制表示和分治思想，将乘法运算转化为一系列位移操作和加法。以下是两个核心性质：

1. 乘法的分解：
   $$a\times b=a\times (b_0\cdot 2^0+b_1\cdot 2^1+b_2\cdot 2^2+\cdots +b_n\cdot 2^n)$$
   其中$b_i$是$b$的第$i$位（0 或 1）。

2. 位移优化：

   • $a\times 2^k$等价于$a$左移$k$位。

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2. 快速乘法算法

快速乘法通常通过以下步骤实现：

1. 根据$b$的二进制位逐位处理。
2. 如果当前位为 1，则将对应的位权加到结果中。
3. 每次将$a$左移（对应乘以 2），将$b$右移一位。

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3. 快速乘法实现

(1) 基本迭代法

通过循环逐位检查$b$的二进制位，计算乘积。

代码实现

public class FastMultiplication {public static long multiply(long a, long b) {long result = 0; // 存储结果while (b > 0) {if ((b & 1) == 1) { // 检查 b 的最低位result += a; // 如果最低位是 1，将 a 加入结果}a <<= 1; // a 左移（相当于乘以 2）b >>= 1; // b 右移（相当于除以 2）}return result;}public static void main(String[] args) {System.out.println(multiply(15, 13)); // 输出 195}
}

算法步骤

1. 初始化结果$result=0$。
2. 如果$b$的当前最低位为 1，将$a$加入结果。
3. 将$a$左移一位（乘以 2），$b$右移一位（除以 2）。
4. 重复直到$b=0$。

时间复杂度

• $O(\log b)$：循环的次数取决于$b$的二进制位数。

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(2) 递归实现

递归方式基于分治思想：

• 如果$b$是偶数：
  $$a\times b=(a\times 2)\times (b/2)$$

• 如果$b$是奇数：
  $$a\times b=a+a\times (b-1)$$

代码实现

public class FastMultiplication {public static long multiply(long a, long b) {if (b == 0) {return 0; // 递归基底}if ((b & 1) == 1) { // b 是奇数return a + multiply(a, b - 1);} else { // b 是偶数return multiply(a << 1, b >> 1);}}public static void main(String[] args) {System.out.println(multiply(15, 13)); // 输出 195}
}

时间复杂度

• 同样为$O(\log b)$，但递归调用可能导致栈溢出，需要注意递归深度。

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(3) 模运算快速乘法

在某些场景下（如计算大数模运算），需要快速计算$(a\times b)\mathrm{mod}c$。通过快速乘法避免溢出。

算法步骤

1. 每次计算$(a\times b)\mathrm{mod}c$，保证中间结果不会溢出。
2. 仅对$b$的二进制位为 1 的部分累加。

代码实现

public class FastModularMultiplication {public static long modularMultiply(long a, long b, long mod) {long result = 0; // 存储结果a %= mod; // 确保 a 在模 c 范围内while (b > 0) {if ((b & 1) == 1) { // 检查 b 的最低位result = (result + a) % mod; // 累加模结果}a = (a << 1) % mod; // a 左移并模b >>= 1; // b 右移}return result;}public static void main(String[] args) {System.out.println(modularMultiply(15, 13, 7)); // 输出 6}
}

示例运行

• 输入$a=15,b=13,c=7$
  • $(15\times 13)\mathrm{mod}7=6$。

时间复杂度

• $O(\log b)$：模运算引入的常数因子不会改变主要复杂度。

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4. 优化与应用

(1) 优化点

1. 减少循环次数：
   • 针对$b$的二进制位为 0 时可以跳过。
2. 并行化计算：
   • 如果硬件支持，可以通过 SIMD 优化快速乘法。

(2) 适用场景

1. 大整数运算：
   • 在计算机中处理超过基础数据类型范围的大数乘法。
2. 模运算优化：
   • 用于加密算法（如 RSA）、离散数学等领域。
3. 嵌入式系统：
   • 在不支持硬件乘法指令的环境中实现高效乘法。

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5. 快速乘法与快速幂的关系

快速乘法可以看作快速幂的扩展：

• 快速幂的目标是计算$a^b\mathrm{mod}c$。
• 快速乘法的目标是计算$a\times b\mathrm{mod}c$。

它们的核心思想都是通过分治和二进制展开优化运算。

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6. 总结

快速乘法的特点

• 优势：
  • 时间复杂度$O(\log b)$。
  • 避免了暴力$O(b)$次加法的低效。
• 局限：
  • 需要掌握位运算思想。
  • 递归实现可能导致栈溢出。

不同实现对比

实现方式	优点	缺点
迭代实现	简单高效，适合一般场景	需要掌握位运算
递归实现	代码清晰，体现分治思想	大数时递归深度可能过大
模运算快速乘法	适合大数或加密场景	增加了模运算的开销

快速乘法广泛用于高效算法中，是程序设计和算法优化的重要工具之一。