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正规方程求解线性回归

首先正规方程如下：
$$\begin{array}{c}\Theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y\end{array}$$
接下来通过线性代数的角度理解这个问题。

二维空间

在二维空间上，有两个向量$a$和$b$，若$b$投影到$a$要怎么做，很简单，做垂线， 那么投影后的向量记为$p$，那么$b$和$p$之间的error记为$e=b-p$。同时$p$在$a$上，所以$p$一定是$a$的$x$（标量）倍，记为$p=xa$。因为$e$垂直$a$，所以$a^T(b-xa)=0$ ，即$x{a}^{T}a=a^{T}b$，得到
$$x=\frac{a^{T}b}{a^{T}a}$$
那么
$$p=xa=a\frac{a^{T}b}{a^{T}a}$$
根据上面的公式，如果$a$翻倍了，那么投影不变，如果$b$翻倍了，投影也翻倍。投影是由一个矩阵$P$完成的，$p=Pb$，那么投影矩阵$P$：
$$P=\frac{a{a}^T}{a^{T}a}$$
用任何向量乘这个投影矩阵，你总会变换到它的列空间中。同时显然有：$P^T=P$ ,$P^2=P$，即投影两次的结果还是和第一次一样。

高维空间

为什么要做投影呢？

因为，$Ax=b$可能无解，比如一堆等式，比未知数还多，就可能造成无解。那么该怎么办，只能求解最接近的哪个可能解，哪个才是最接近的呢？问题是$Ax$总是在$A$的列空间中，而$b$不一定在。所以要怎么微调$b$将它变为列空间中最接近它的那一个，那么就将问题换作求解，有解的$A\hat{x}=p$。所以得找最好的那个投影$p$，以最好的接近$b$，这就是为什么要引入投影的原因了。

那么我们来看高维空间，这里以三维空间举例，自然可以推广到n维空间。

现在有一个不在平面上的$b$向量，想要将$b$投影在平面上，平面可以由两个基向量$a_1$和$a_2$表示。同样的$b$投影到平面上的误差记为$e=b-p$，这个$e$是垂直平面的。$p=\widehat{x_1}{a}_1+\widehat{x_2}{a}_2=A\hat{x}$，我们想要解出$\hat{x}$。因为$e$是垂直平面，所以有$b-A\hat{x}$垂直平面，即有$a_1^T(b-A\hat{x})=0$,$a_2^T(b-A\hat{x})=0$，表示为矩阵乘法便有
$$A^T(b-A\hat{x})=Ae=0$$
这个形式与二维空间的很像吧。对于$Ae=0$，可知$e$位于$A^T$的零空间，也就是说$e$垂直于于$A$的列空间。由上面式子可得
$$A^{T}A\hat{x}=A^{T}b$$
继而
$$\hat{x}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$$
这不就是我们的正规方程吗。到这里我们的正规方程便推导出来了，但为了内容完整，我们下面收个尾。
$$\begin{gathered} p=A\hat{x}=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b \\ P=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T \\ {P}^T=P \\ {P}^2=P \end{gathered}$$
这些结论还是和二维空间上的一样，$P^T=P$ ,$P^2=P$，即投影两次的结果还是和第一次一样。

最小二乘法

正规方程的一个常见应用例子是最小二乘法。从线性代数的角度来看，正规方程是通过最小二乘法求解线性回归问题的一种方法。以下是正规方程的概述：

1. 模型表示

在线性回归中，我们假设目标变量 $y$ 与特征矩阵 $X$ 之间存在线性关系：

$$\hat{y}=X\theta$$

其中：

• $\hat{y}$ 是预测值（一个 $m$ 维列向量）。
• $X$ 是特征矩阵（$m\times n$），每行代表一个样本，每列代表一个特征。
• $\theta$ 是模型参数（权重向量）。

2. 目标函数

我们的目标是最小化预测值与实际值之间的误差，通常使用残差平方和：

$$J(\theta )=\Vert y-X\theta {\Vert }^2$$

3. 求解过程

为了找到使得 $J(\theta )$ 最小的 $\theta$，我们可以通过对 $J(\theta )$ 关于 $\theta$ 的导数求解，设导数为零：

$$\nabla J(\theta )=-2X^T(y-X\theta )=0$$

展开后得到：

$$X^{T}X\theta =X^{T}y$$

4. 正规方程

这个方程称为正规方程，其形式为：

$$X^{T}X\theta =X^{T}y$$

5. 解的唯一性

• 若 $X^{T}X$ 是可逆的（即列向量线性无关），则可以通过求逆得到参数的解：

$$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$

• 如果 $X^{T}X$ 不可逆（即存在多重共线性），则正规方程可能没有唯一解。

6. 几何解释

从几何的角度，正规方程可以被视为在特征空间中寻找一个超平面，使得目标变量 $y$ 的投影与预测值 $X\theta$ 之间的误差最小化。

总结

正规方程通过线性代数的方法为线性回归提供了解的表达式，使得我们可以有效地计算参数。其核心思想是通过最小化残差平方和，寻找最佳拟合的线性模型。

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梯度下降求解线性回归

import numpy as np
def linear_regression_gradient_descent(X: np.ndarray, y: np.ndarray, alpha: float, iterations: int) -> np.ndarray:m, n = X.shapetheta = np.zeros((n, 1))for _ in range(iterations):predictions = X @ thetaerrors = predictions - y.reshape(-1, 1)updates = X.T @ errors / mtheta -= alpha * updatesreturn np.round(theta.flatten(), 4)

其他都好理解，下面主要讲梯度updates的推导

1. 定义损失函数

线性回归的损失函数通常是均方误差（Mean Squared Error, MSE）：

$$\text{MSE}=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$

这里，$h_{\theta }(x^{(i)})=X^{(i)}\cdot \theta$ 是模型的预测值，$y^{(i)}$ 是实际值。

2. 对损失函数求导

为了最小化损失函数，我们需要对参数 $\theta$ 求导：

$$\frac{\partial \text{MSE}}{\partial \theta }=\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2\right)$$

应用链式法则，首先求导内部的平方项：

$$\frac{\partial }{\partial \theta }(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2=2(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})\cdot \frac{\partial h_{\theta }(x^{(i)})}{\partial \theta }$$

而且 $h_{\theta }(x^{(i)})=X^{(i)}\cdot \theta$，所以：

$$\frac{\partial h_{\theta }(x^{(i)})}{\partial \theta }=X^{(i)}$$

将这个结果代入：

$$\frac{\partial \text{MSE}}{\partial \theta }=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})X^{(i)}$$

3. 用向量表示

将上述和式转换为向量形式。定义误差向量：

$$\text{errors}=\text{predictions}-y$$

其中 $\text{predictions}=X\cdot \theta$。这样，梯度可以表示为：

$$\text{gradient}=\frac{1}{m}(X^T\cdot \text{errors})$$

4. 结论

因此，梯度的计算公式来源于损失函数的求导过程，通过向量化的方式将每个样本的误差与特征相乘，得出对每个参数的影响。这是梯度下降法中更新参数的基础。