昆山网站建设工作室_肇庆网站快速排名优化_谷歌sem和seo区别_外贸网站谷歌seo

编者按

报童问题的原型是报童在观察需求之前决定要订购多少报纸的问题，其在订购过多或过少时会面临超量和不足成本。因此，报童问题的核心是如何在观察需求之前决定订购一个数量，考虑到超量和缺货成本。本文引用 G. Gallego (1994) 对报童问题的分析，讨论如何控制单一物品在单一周期内具有若干不同随机需求的库存问题。

1 基础模型

设$D$为单周期随机需求，均值为$\mu =E[D]$，方差为 ${\sigma }^2=V[D]$. 设 $c$为单位成本，$p>c$ 为销售价格，$s<c$ 为回收价值。如果订购了$Q$个单位，则将出售$\min (Q,D)$个单位，而 $(Q-D{)}^{+}=\max (Q-D,0)$个单位被回收。利润的表达式为：
$$\pi (Q)=pE[\min (Q,D)]+sE[(Q-D{)}^{+}]-cQ.$$
预期利润是确定的，其表达式为：
$$\pi (Q)=(p-c)\mu -G(Q),$$
其中
$$G(Q)=(c-s)E[(Q-D{)}^{+}]+(p-c)E[(D-Q{)}^{+}]\ge 0.$$
设 $h=c-s$ 和 $b=p-c$, 其中 $h$为单位超量成本，$b$为单位缺货成本。有时缺货成本会被增加，以考虑未满足需求所产生的无形损失。因此，可将最大化$\pi (Q)$的问题看作是最小化预期的超量和缺货成本$G(Q)$.

设 $G^{det}(Q)=h(\mu -Q{)}^{+}+b(Q-\mu {)}^{+}$. 当需求$D$是确定性时，即$\mathrm{Pr}(D=\mu )=1$，该公式代表成本。显然，当$Q=\mu$时，$G^{\text{det}}(Q)$最小，且 $G^{\text{det}}(\mu )=0$，因此 ${\pi }^{\text{det}}(\mu )=(p-c)\mu$. 因此，报童问题仅在需求是随机的情况下有意义。而当 $s=c$ 时，系统可以订购无限量，满足所有需求，并退回所有未售出的商品。

设 $g(x)=h{x}^{+}+b{x}^{-}$，那么 $G(Q)$可以表示为 $G(Q)=E[g(Q-D)]$. 由于$g$是凸函数，并且线性变换和期望算子保持凸性，因此 $G(Q)$也是凸的。根据 Jensen’s 不等式 $G(Q)\ge G^{\text{det}}(Q)$，
$$\pi (Q)\le {\pi }^{\text{det}}(Q)\le {\pi }^{\text{det}}(\mu )=(p-c)\mu$$
因此，预期利润低于确定性需求的情况。若$D$的分布是连续的，则可以通过对$G$求导并将其设为零来找到最优解。由于可以将导数和期望计算交换，得出
$$G^{\prime }(Q)=hE\delta (Q-D)-bE\delta (D-Q)，$$
其中$\delta (x)=1$；当 $x>0$时，否则为 0. 由于$E\delta (Q-D)=\mathrm{Pr}(Q-D>0)$且$E\delta (D-Q)=\mathrm{Pr}(D-Q>0)$，因此
$$G^{\prime }(Q)=h\mathrm{Pr}(Q-D>0)-b\mathrm{Pr}(D-Q>0).$$
将导数设为零得出：
$$F(Q)\equiv \mathrm{Pr}(D\le Q)=\frac{b}{b+h}=\frac{p-c}{p-s}\equiv \beta .$$
如果$F$是连续的，则至少存在一个$Q$满足上式 (2). 可以通过选择最小的解来得到：
Q ∗ = inf ⁡ { Q ≥ 0 : F ( Q ) ≥ β } . Q^* = \inf\{Q \geq 0 : F(Q) \geq \beta\}. Q∗=inf{Q≥0:F(Q)≥β}.
很明显，按这种方式选择的 $Q^{\ast }$随 $\beta$增大而增加，因此它随 $b$增加而增加，随 $h$减少而减小。如果 $F$是严格递增的，那么$F$存在反函数，并且存在唯一的最优解：
$Q^* = F^{-1}(\beta). $
在实践中，需求$D$通常取值于自然数集 N = { 0 , 1 , 2 , … } \mathcal{N} = \{0, 1, 2, \dots\} N={0,1,2,…}. 在这种情况下，使用前向差分
$$\Delta G(Q)=G(Q+1)-G(Q),Q\in \mathcal{N}$$.

通过$E(D-Q{)}^{+}={\sum }_{j=Q}^{\infty }\mathrm{Pr}(D>j)$，可以容易看出：
$$\Delta G(Q)=h-(h+b)\mathrm{Pr}(D>Q),$$
其中$\Delta G(Q)$是 $Q$的非递减函数，且 ${\lim }_{Q\to \infty }\Delta G(Q)=h>0$，因此最优解为：
Q = min ⁡ { Q ∈ N : Δ G ( Q ) ≥ 0 } ， Q = \min\{Q \in \mathcal{N} : \Delta G(Q) \geq 0\}， Q=min{Q∈N:ΔG(Q)≥0}，
或等价地：
Q ∗ = min ⁡ { Q ∈ N : F ( Q ) ≥ β } . Q^* = \min\{Q \in \mathcal{N} : F(Q) \geq \beta\}. Q∗=min{Q∈N:F(Q)≥β}.
报童模型的起源可以追溯到 Edgeworth (1888) 的研究，他使用中心极限定理来确定银行应该保留多少现金，以满足存款人随机提款的需求。分位数解法 (2) 出现在 1951 年 Arrow et al. (1951) 的经典论文中。

报童解法可以解释为提供最小的供应数量，保证所有需求都能以至少$100\beta \%$的概率得到满足。因此，利润最大化解法导致了服务水平为 $100\beta \%$. 在实践中，经理们通常会指定$\beta$，然后据此找到$Q$. 这种服务水平不应与从库存中服务的需求比例（即订单满足率, fill rate）混淆，订单满足率定义为：
$$\alpha =\frac{E\min (D,Q)}{E[D]}.$$

2 正态分布需求

当需求$D$服从正态分布时，一个重要的特殊情况出现了。当需求来自许多不同且独立或弱相关的客户时，正态假设可以通过中心极限定理得到合理的解释。如果$D$是正态分布的，那么可以写成 $D=\mu +\sigma Z$，其中 $Z$是标准正态随机变量。设 $\Phi (z)=\mathrm{Pr}(Z\le z)$为标准正态随机变量的累积分布函数。由于 $\mathrm{Pr}(D\le \mu +z_{\beta }\sigma )=\Phi (z_{\beta })=\beta$，因此有$Q^{\ast }=\mu +z_{\beta }\sigma$给出了正态需求情况下的最优解。$z_{\beta }$称为安全系数，且$Q^{\ast }-\mu =z_{\beta }\sigma$称为安全库存。可以证明 $E(D-Q^{\ast }{)}^{+}=\sigma E(Z-z_{\beta }{)}^{+}=\sigma [\varphi (z_{\beta })-(1-\beta )z_{\beta }]$，其中 $\varphi$是标准正态随机变量的密度函数。因此，

则

另外，由于 $E[\min (D,Q^{\ast })]=E[D]-E[(D-Q^{\ast }{)}^{+}]$，订单满足率写成：
$$\alpha =1-\text{cv}[\varphi (z_{\beta })-(1-\beta )z_{\beta }]，$$
其中，$\text{cv}=\sigma /\mu$是需求的变异系数。由于$\varphi (z_{\beta })-(1-\beta )z_{\beta }\ge 0$随 $\beta$增大而减少，因此 $\alpha$随 $\beta$增加而增加，随$\text{cv}$减少而减少。数值结果表明，对于所有合理的 $\text{cv}$值，$\alpha \ge \beta$，包括 $\text{cv}\le 1/3$，这是正态模型适用的最高变异系数。

3 泊松分布

在实践中，需求$D$也经常表现为泊松分布。以$\lambda >0$为泊松分布的参数，则其概率密度函数为
$$\mathrm{Pr}(D=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$$

泊松分布是二项分布$B(n,p)$的极限。举例来说，进入商店并进行购买的顾客数量通常可以建模为泊松分布。泊松分布的均值 $\mu =\lambda$，标准差 $\sigma =\sqrt{\lambda }$，因此当 $\lambda$较大时，变异系数 $\sigma /\mu$变得很小。当 $\lambda$很大时，泊松分布可以用均值 $\mu =\lambda$和标准差 $\sigma =\sqrt{\lambda }$的正态分布来近似。

最优的订购量$Q$可通过找到满足 $\mathrm{Pr}(D\le Q)\ge \beta$ 的最小整数来求得。

4 对数正态分布

当变异系数 $\sigma /\mu$较大时，正态分布和泊松分布都不再适用。正态分布不适用是因为当 $\sigma /\mu$较大时，它会将显著的概率赋予负需求。泊松分布也不适用，因为 $\sigma =\sqrt{\mu }$，因此在大多数合理的 $\lambda$ 值下，变异系数较小。而对数正态分布允许在变异系数较大的情况下获得闭式解。

当随机变量$D$服从对数正态分布时，假设参数为$\nu$和$\tau$，即$\ln (D)$服从均值为$\nu$、标准差为$\tau \ge 0$的正态分布，则 $$E(X^n)=\exp (n\nu +n^2{\tau }^2/2)，\mu =\exp (\nu +{\tau }^2/2)，{\sigma }^2={\mu }^2(\exp ({\tau }^2)-1)，$$ 所以 $$\nu =\ln \mu -\ln \sqrt{1+{\text{cv}}^2}，\tau =\sqrt{\ln (1+{\text{cv}}^2)}$$
对数正态分布常用于建模非负随机变量，如电子设备的寿命和高风险证券的总回报。

在对数正态分布下，报童问题的解为：
$$Q^{\ast }=\exp (\nu +\tau z_{\beta })，$$
并且：
$$\pi (Q^{\ast })=(p-c)\mu -(h+b)\mu \Phi (\tau -z_{\beta })+h\mu .$$

为了理解这个公式的合理性，注意如果$D$服从对数正态分布，那么 $$\mathrm{Pr}(D\le Q^{\ast })=\mathrm{Pr}(\ln (D)\le \ln (Q^{\ast }))=\mathrm{Pr}(\nu +\tau Z\le \nu +\tau z_{\beta })=\Phi (z_{\beta })=\beta$$. 现在，利用$E(D-Q^{\ast }{)}^{+}=\mu \Phi (\tau -z_{\beta })-Q^{\ast }\Phi (-z_{\beta })$和 $\Phi (-z_{\beta })=h/(h+b)$，可以得到： $$G(Q^{\ast })=h(Q^{\ast }-\mu )+(h+b)E(D-Q^{\ast }{)}^{+}$$ 即： $$G(Q^{\ast })=h(y^{\ast }-\mu )+(h+b)\mu \Phi (\tau -z_{\beta })-(h+b)Q^{\ast }\Phi (-z_{\beta })$$ 最终得出： $$G(Q^*) = (h

• b)\mu \Phi(\tau - z_\beta) - h\mu.$$

5 复合需求

当顾客数量$N$本身是一个非负整数随机变量，并且每个顾客的需求是一个随机变量时，会出现一个更为一般的需求模型。如果顾客需求是独立同分布的，那么总需求$D$可以建模为：
$$D=\sum _{k=1}^N{X}_k$$.
当$N=1$并且$X$是正态分布时，模型简化为$D=X$为正态分布的情况；而当$N$是泊松分布$\lambda$，且 $\mathrm{Pr}(X=1)=1$时，模型简化为泊松分布的情况。

在一般情况下，当 $D={\sum }_{k=1}^N{X}_k$ 时，求解报童问题的闭式解较为困难。一种替代方法是通过模拟找到$Q$. 另一种方法是计算 ${\mu }_D=E[D]$ 和 ${\sigma }_D^2=\text{Var}[D]$，然后用已知均值和方差的分布来近似$D$，例如正态或对数正态分布。当 ${\text{cv}}_D\le 0.33$时，推荐使用正态近似。对于较大的 ${\text{cv}}_D$，对数正态分布往往表现更好。还可以针对给定均值和方差的最差情况分布来优化 $Q$.

利用条件期望可以得到：
$$E[D]=E[E[D|N]]\text{和}\text{Var}[D]=\text{Var}[E[D|N]]+E[\text{Var}[D|N]].$$
如果 ${\mu }_N=E[N]$$，$${\sigma }_N^2=\text{Var}[N]$，${\mu }_X=E[X]$ 和${\sigma }_X^2=\text{Var}[X]$，则：
$${\mu }_D={\mu }_N{\mu }_X\text{且}{\sigma }_D^2={\mu }_X^2{\sigma }_N^2+{\mu }_N{\sigma }_X^2.$$
可以得到$D$的变异系数为：
$${\text{cv}}_D=\sqrt{{\text{cv}}_N^2+\frac{1}{{\mu }_N}{\text{cv}}_X^2}$$
由于 ${\text{cv}}_D$随 ${\mu }_N$减小，其他条件相同时，拥有大量小顾客比拥有少量大顾客更有利。由于与库存相关的成本（超量和不足成本）大致与需求的标准差成比例，处理少量大顾客的成本可能显著更高，相比之下，处理大量小顾客的成本要低得多。

如果$N$服从泊松分布，那么$D$是一个复合泊松分布，并且：
$${\mu }_D=\lambda {\mu }_X{\sigma }_D^2=\lambda ({\mu }_X^2+{\sigma }_X^2),$$
复合泊松分布的变异系数为：
$${\text{cv}}_D={\text{cv}}_N\sqrt{1+{\text{cv}}_X^2}\ge {\text{cv}}_N=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}.$$

参考文献

Edgeworth, F. (1888). The Mathematical Theory of Banking. J. Royal Statistical Society. 51, 113-127.
Arrow, K., T. Harris, J. Marshack. (1951). Optimal Inventory Policy. Econometrica. 19, 250-272.