4.2 二叉搜索树
二叉搜索树(Binary Search Tree,简称 BST)
是一种特殊的二叉树结构,它在上一节的基础上做了新的规则限制。
它的特性使得在进行查找、插入、删除等操作时效率非常高。二叉搜索树广泛应用于搜索、排序和数据存储等场景。
本节我们将介绍二叉搜索树的基本概念、其特有的规则以及在 Go
语言中的实现。
本节代码存放目录为 lesson7
概念及原理
二叉搜索树(BST) 是一种有序的二叉树,其每个节点都有以下特性:
-
左子树节点的值 小于 父节点的值。
-
右子树节点的值 大于 父节点的值。
-
对于每个节点,左子树和右子树 本身也都是二叉搜索树。
这样的性质使得我们可以在二叉搜索树上快速进行查找、插入、删除操作。
二叉搜索树的结构示意图如下所示:
8/ \3 10/ \ \1 6 14/ \ /4 7 13
-
节点 8 是根节点,左子树上的所有节点都小于
8
,右子树上的所有节点都大于8
。 -
节点 3 是
8
的左子节点,节点 10 是8
的右子节点。 -
节点 1、6、14、4、7、13 也是遵循二叉搜索树的性质,左子节点小于父节点,右子节点大于父节点。
总的来说,对于二叉搜索树,我们只需要记住:左子小于父,右子大于父。
二叉搜索树具有以下几个重要特性:
-
查找操作:查找某个节点的过程类似于二分查找。我们根据值的大小决定是否向左子树或右子树递归查找,这样可以快速缩小查找范围。
-
插入操作:插入一个新值时,我们根据该值与当前节点的比较结果,递归找到合适的空位插入,确保二叉搜索树的有序性。
-
删除操作:删除节点时有三种情况:
-
节点没有子节点:直接删除该节点。
-
节点有一个子节点:删除节点后,直接将其子节点连接到父节点。
-
节点有两个子节点:找到该节点的中序后继节点,替换到被删除节点的位置,再递归删除后继节点。
-
与普通二叉树一样,二叉搜索树也可以使用前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。特别是中序遍历,它会按照升序输出节点的值。
以上面的树为例,使用 中序遍历 的顺序就是从小到大依次输出节点值:
1 -> 3 -> 4 -> 6 -> 7 -> 8 -> 10 -> 13 -> 14
如何查找中序后继节点?
我么可以简单理解为:采用中序遍历后,第一个比当前节点大的节点。
比如在上面的中序遍历后,我们得到:
1 -> 3 -> 4 -> 6 -> 7 -> 8 -> 10 -> 13 -> 14
那么1
的后继就是3
,因为3
是第一个比1
大的;同理6
的后继就是7
,7
的后继就是8
。
删除操作示例
我们同样以上文的例子示范:
8/ \3 10/ \ \1 6 14/ \ /4 7 13
首先我们删除13
,由于13
是没有任何子节点的,所以我们直接将13
节点删除即可。此时结构如下:
8/ \3 10/ \ \1 6 14/ \ 4 7
接下来我们删除10
节点,由于10
节点只有一个节点14
,所以我们直接将14
连接到父节点8
即可。此时结构如下:
8/ \3 14/ \ 1 6/ \ 4 7
接下来我们删除6
节点,由于6
节点有两个子节点,所以我们需要找到6
的中序后继节点,也就是7
,之后我们将7
替换到被删除的6
节点。此时结构如下:
8/ \3 14/ \ 1 7/ \ 4 7
接下来我们需要删除原本的中序后继节点7
。最终结构如下:
8/ \3 14/ \ 1 6/4
Go语言的实现
接下来我们使用 Go
语言实现二叉搜索树,包括插入、查找和删除等基本操作。
实现代码如下所示:
// Tree 定义树结构
type Tree struct {data intleft *Treeright *Tree
}func (t *Tree) insert(data int) {newTree := &Tree{data: data,}if data < t.data {if t.left == nil {t.left = newTree} else {t.left.insert(data)}} else {if t.right == nil {t.right = newTree} else {t.right.insert(data)}}
}func (t *Tree) search(data int) *Tree {if t == nil {return nil}if t.data == data {return t}// 递归查找左子树if data < t.data {return t.left.search(data)}// 递归查找右子树return t.right.search(data)
}func (t *Tree) delete(data int) *Tree {if t == nil {return nil}if data < t.data {// 递归左查找t.left = t.left.delete(data)} else if data > t.data {// 递归右查找t.right = t.right.delete(data)} else {// 没有任何子节点if t.left == nil && t.right == nil {return nil}// 只有一个子节点if t.left == nil {return t.right}if t.right == nil {return t.left}// 有两个子节点,那么需要找到中序后继节点minNode := t.right.findMin()// 用中序后继的值替换当前节点的值t.data = minNode.data// 删除中序后继节点t.right = t.right.delete(minNode.data)}return t
}// 查找最小节点(中序后继)
func (t *Tree) findMin() *Tree {if t.left == nil {return t}return t.left.findMin()
}// 中序遍历
func (t *Tree) inOrder() {if t == nil {return}t.left.inOrder()fmt.Printf("%d ", t.data)t.right.inOrder()
}func (t *Tree) printTree() {if t == nil {return}if t.left != nil {fmt.Printf("left: %d, ", t.left.data)}if t.right != nil {fmt.Printf("right-> %d\n", t.right.data)}if t.left == nil && t.right == nil {return}t.left.printTree()t.right.printTree()
}func main() {tree := &Tree{data: 8}tree.insert(3)tree.insert(10)tree.insert(1)tree.insert(6)tree.insert(14)tree.insert(4)tree.insert(7)tree.insert(13)tree.printTree()fmt.Println("\n中序遍历结果:")tree.inOrder()fmt.Println("\n\n查找节点 6")node := tree.search(6)if node != nil {fmt.Printf("找到节点: %d\n", node.data)} else {fmt.Println("节点不存在")}fmt.Println("\n删除节点 13 后的中序遍历结果:")tree = tree.delete(13)tree.inOrder()fmt.Println("\n删除节点 10 后的中序遍历结果:")tree = tree.delete(10)tree.inOrder()fmt.Println("\n删除节点 6 后的中序遍历结果:")tree = tree.delete(6)tree.inOrder()
}
执行结果输出如下:
left: 3, right-> 10
left: 1, right-> 6
left: 4, right-> 7
right-> 14
left: 13,
中序遍历结果:
1 3 4 6 7 8 10 13 14 查找节点 6
找到节点: 6删除节点 13 后的中序遍历结果:
1 3 4 6 7 8 10 14
删除节点 10 后的中序遍历结果:
1 3 4 6 7 8 14
删除节点 6 后的中序遍历结果:
1 3 4 7 8 14
在上面的代码中我们实现了基本的插入、查询、删除、遍历,可能代码看起来不是太明白,我们可以先将递归了解清楚,我们主要使用的也就是递归的概念。
通过递归进行各种操作,所以代码看起来会比较抽象,我们可以拿到代码demo
,去加一下日志输出详细查看一下他的整个过程。
小结
二叉搜索树是二叉树的一种扩展形式,具有排序和快速查找的优势。通过本节的学习,我们了解了二叉搜索树的特性和操作实现。
下一节我们将继续深入学习AVL树,它们在保持二叉搜索树性能的同时,通过自平衡机制进一步优化了查找和插入的效率。
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