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HEY， 各位这次是真的好久不见，本期推送来教大家如何使用MATLAB推公式并使用推出来的结果。

本文说白了就是讲符号表达式这个东西咋用，所使用最重要的函数就是syms，在开始前，首先要保证自己的MATLAB安装了Symbolic Math Toolbox工具箱！

1 公式显示

展示一下如何使用m-文件和实时编辑器使用syms函数并如何显示结果：

脚本(m-文件)

首先假如在m-文件编写如下代码（使用syms函数将x y 设置为符号变量，并生成了简单的公式，使用pretty函数更美观的展示公式），则运行结果如下：

syms x y
% syms x
% 等价于
% x = sym('x')
f = sin(x^3/y) + (y^3/x)
pretty(f)% f =
% 
% sin(x^3/y) + y^3/x
% 
%    /  3 \    3
%    | x  |   y
% sin| -- | + --
%    \  y /    x

实时脚本

创建实时脚本：

输入公式并运行：

结果显示：

2 常用函数

展示一下常用的积分，极限，累加和等函数都是哪些？我们直接拿真正的数学题来算算得了：

不定积分与定积分(int)

吉林大学2021年数学分析题目(一(5))
求积分$\int \frac{dx}{2+{\tan }^{2}x}$

syms x
f=1/(2 + tan(x)^2);
int(f)

ans = $x-\frac{\sqrt{2}\mathrm{atan}\left(\frac{\sqrt{2}\tan (x)}{2}\right)}{2}$

吉林大学2021年数学分析题目(一(6))
求定积分${\int }_0^3\arcsin \frac{x}{x+1}$

syms x
f=asin(x/(x + 1));
% 变量是 x，积分上下限 0 - 3
int(f, x, 0, 3)

ans = $\frac{\pi }{2}-\mathrm{atan}\left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)+3\mathrm{asin}\left(\frac{3}{4}\right)-\sqrt{7}+1$

极限（limit)

吉林大学2021年数学分析题目(一(3))
求极限
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-{\int }_0^{x^2}\cos \left(t^2\right)dt}{{\sin }^{10}x}$$
这里对$\cos \left(t^2\right)$积分涉及菲涅耳函数一般肯定算不出来，得洛，但MATLAB就直接硬刚就完事了嗷。

syms x t
f = (x^2 - int(cos(t^2), t, 0, x^2))/(sin(x))^10
limit(f, x, 0)

f =
$$\frac{x^2-\frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi }\mathrm{C}\left(\frac{\sqrt{2}{x}^2}{\sqrt{\pi }}\right)}{2}}{\sin (x{)}^{10}}$$
ans = $\frac{1}{10}$

级数(symsum)

吉林大学2021年数学分析题目(一(9))
求级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n(2n-1)}$的和.

syms n
symsum(1/(2^n)/(2*n - 1), n, 1, inf)

ans = $\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{atanh}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

导数(diff)

求$\frac{\mathrm{asin}(x)}{\sqrt{1-x^2}}$的三阶导数：

syms x
f = asin(x)/sqrt(1 - x^2);
diff(f, x, 3)

ans = $\frac{4}{{\left(x^2-1\right)}^2}-\frac{15x^2}{{\left(x^2-1\right)}^3}+\frac{15x^3\mathrm{asin}(x)}{{\left(1-x^2\right)}^{7/2}}+\frac{9x\mathrm{asin}(x)}{{\left(1-x^2\right)}^{5/2}}$

泰勒展开(taylor)

中国海洋大学2021年数学分析题目(1(2))
求二元函数$f(x,y)=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$在(0,0)到4阶项的泰勒展开式。

syms x y
f=log(1 + x^2 + y^2);
taylor(f, [x,y], [0,0], 'Order',5)

ans = $-\frac{x^4}{2}-x^2{y}^2+x^2-\frac{y^4}{2}+y^2$

3 变量格式

我们可以用syms函数将字母变成符号变量，也能变成符号函数，符号矩阵，同时也可以设置变量的一些属性，比如非负性等属性。

符号变量性质

可以设置为 real | positive | integer | rational
比如我们运行如下代码，能看出预设变量是正数和不做预设的区别：

syms x
f1 = sqrt(x^2)
% f1 = sqrt(x^2)syms x positive
f2 = sqrt(x^2)
% f2 = x

大家可能会好奇，嗯?只能设置为positive正数嘛，我想设置为负数咋办？更加复杂的设置可以通过assume函数来完成：

再随便举个例子：

syms x
f = 1/abs(x^2 - 1);
int(f, x)
% ans = -atanh(x)/sign(x^2 - 1)assume(x^2 - 1 > 0)
int(f, x)
% ans = -atanh(x)

符号矩阵

syms X [3,4]
X

X = $
\left(\begin{array}{llll}
X_{1,1} & X_{1,2} & X_{1,3} & X_{1,4} \
X_{2,1} & X_{2,2} & X_{2,3} & X_{2,4} \
X_{3,1} & X_{3,2} & X_{3,3} & X_{3,4}
\end{array}\right)
$

syms 'X_a%d%d' [2,2]
X_a

X_a = $\left(\begin{array}{ll}{X}_{\mathrm{a}11}& X_{\mathrm{a}12}\\ X_{\mathrm{a}21}& X_{\mathrm{a}22}\end{array}\right)$

符号函数

syms f(x,y)
M = f(2,3) + f^2

M(x, y) = $f(x,y{)}^2+f(2,3)$

符号函数矩阵

syms f(x,y) [2,2]
f

f(x, y) = $\left(\begin{array}{ll}{f}_{1,1}(x,y)& f_{1,2}(x,y)\\ f_{2,1}(x,y)& f_{2,2}(x,y)\end{array}\right)$

将符号函数矩阵的元素替换的方法还是挺奇怪的：

f1_1(x,y) = 2*x;
f2_2(x,y) = x^2 + 1;
f = subs(f)

f(x, y) = $\left(\begin{array}{cc}2x& f_{1,2}(x,y)\\ f_{2,1}(x,y)& x^2+1\end{array}\right)$

再带入数值：

f(2,3)

ans = $\left(\begin{array}{cc}4& f_{1,2}(2,3)\\ f_{2,1}(2,3)& 5\end{array}\right)$

抽象矩阵

R2021A版本及以后，矩阵符号运算也被支持啦！！

x = symmatrix('x', [5,1]);
A = symmatrix('A', [5,5]);
% 等同于：
% syms x [5,1] matrix
% syms A [5,5] matrixf = x.'*A*x - x.'*x
H = diff(f, x)
inv(A)

f = $-{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}+{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$
H = ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}-2{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$
ans = ${\mathbf{A}}^{-1}$

抽象复合函数

举个例子：

syms f1(x,y) f2(x,y) F(x,y)
dFdx = diff(F(f1, f2), x)

求解结果：

dFdx = D([1], F)(f1(x, y), f2(x, y))*diff(f1(x, y), x) + D([2], F)(f1(x, y), f2(x, y))*diff(f2(x, y), x)

在实时编辑器中的显示：

dFdx = $${\mathrm{D}}_1(F)\left(f_1(x,y),f_2(x,y)\right)\frac{\partial }{\partial x}{f}_1(x,y)+{\mathrm{D}}_2(F)\left(f_1(x,y),f_2(x,y)\right)\frac{\partial }{\partial x}{f}_2(x,y)$$

再举一个例子：

syms f(a,b) x
diff(f(x^2, x+1), x)

ans = $2x{\mathrm{D}}_1(f)\left(x^2,x+1\right)+{\mathrm{D}}_2(f)\left(x^2,x+1\right)$

4 公式化简

simplify

使用simplify函数可以对公式进行化简，例如：

syms x
M = [(x^2 + 5*x + 6)/(x + 2), sin(x)*sin(2*x) + cos(x)*cos(2*x);(exp(-x*1i)*1i)/2 - (exp(x*1i)*1i)/2, sqrt(16)]
S = simplify(M)

M = $\left(\begin{array}{lc}\frac{x^2+5x+6}{x+2}& \cos (2x)\cos (x)+\sin (2x)\sin (x)\\ \frac{{\mathrm{e}}^{-x\mathrm{i}}\mathrm{i}}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^{x\mathrm{i}}\mathrm{i}}{2}& 4\end{array}\right)$
S = $\left(\begin{array}{cc}x+3& \cos (x)\\ \sin (x)& 4\end{array}\right)$

公式化简不到位

我们使用simplify时可能会遇到化简化的不完全的情况，例如：

$${\int }_0^{+\infty }\frac{x^2+1}{x^4+1}dx$$

这个积分化简出来应该是个常数，但是simplify化简出来是个公式：

syms x
f1 = (x^2 + 1)/(x^4 + 1);
f2 = int(f1, x, 0, inf);
f3 = simplify(f2)% f3 =
% (2^(1/2)*(4*pi - log(- 1/2 - 1i/2)*1i + log(- 1/2 + 1i/2)*1i - log(1/2 - 1i/2)*1i + log(1/2 + 1i/2)*1i))/4

明显化简的不够完全，可以多化简几步例如直接1000步：

f3 = simplify(f2, 'Steps',1000)
% f3 = 
% (pi*2^(1/2))/2

当然不同化简步数有着不同结果，例如：

不同化简步数

举个例子：

syms x
expr = ((exp(-x*1i)*1i) - (exp(x*1i)*1i))/(exp(-x*1i) + exp(x*1i));
S = simplify(expr)

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{S}=-\frac{{\mathrm{e}}^{2xi}\mathrm{i}-\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{2x\mathrm{i}}+1}\end{array}$$

S10 = simplify(expr, 'Steps',10)

$$\begin{array}{rl}& S10=\frac{2i}{e^{2xi}+1}-\mathrm{i}\end{array}$$

S30 = simplify(expr, 'Steps',30)

$$\begin{array}{r}\mathrm{S}30=\frac{(\cos (x)-\sin (x)\mathrm{i})\mathrm{i}}{\cos (x)}-\mathrm{i}\end{array}$$

S530 = simplify(expr, 'Steps',50)

$$\mathrm{S}50=\tan (x)$$

特殊化简

同时有些先平方再开方，或者外面套着ln函数的不好化简，可以设置IgnoreAnalyticConstraints属性为true.

syms x
expr = (log(x^2 + 2*x + 1) - log(x + 1))*sqrt(x^2);
S = simplify(expr)

$$S=-\left(\log (x+1)-\log \left((x+1{)}^2\right)\right)\sqrt{x^2}$$

S = simplify(expr, 'IgnoreAnalyticConstraints',true)

$$\mathrm{S}=x\log (x+1)$$

不同化简格式

使用All属性函数可以获取全部等效化简：

syms x
expr = cos(x)^2 - sin(x)^2;
S = simplify(expr, 'All',true)

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{S}=\\ & \left(\begin{array}{c}\cos (2x)\\ \cos (x{)}^2-\sin (x{)}^2\end{array}\right)\end{array}$$

也可以和化简步数结合：

S = simplify(expr, 'Steps',10, 'All',true)

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{S}=\\ & \left(\begin{array}{c}\cos (2x)\\ 1-2\sin (x{)}^2\\ 2\cos (x{)}^2-1\\ \cos (x{)}^2-\sin (x{)}^2\\ \cot (2x)\sin (2x)\\ \frac{{\mathrm{e}}^{-2x\mathrm{i}}}{2}+\frac{{\mathrm{e}}^{2x\mathrm{i}}}{2}\end{array}\right)\end{array}$$

5 公式格式

就我化简出来既有 $\sin (x)$ 也有 $e^x$ ，但我偏偏不要，欸哪怕有复数我也要全 $\cos (x)$ 的公式？怎么自由进行公式替换？

先从一个最简单的例子来看叭，假设我的公式是 $\sin (x)+\cos (x)$ 我想自动让MATLAB将其替换为纯 $\sin (x)$ 的公式咋办？此例子与问题来自@丁丁曜曜.

方法一 All 属性

可以使用 simplify 函数化简的时候选择 All 属性为true，就能展示所有的等价化简:

syms x
expr = sin(x)+cos(x);S = simplify(expr,'All',true)
% S =
% 2^(1/2)*sin(x + pi/4)
% 2^(1/2)*cos(x - pi/4)
%       cos(x) + sin(x)

例如题目中的式子就有三个等效化简，我们选择第一个只含 $\sin$ 的化简即可：

S(1)
% 2^(1/2)*sin(x + pi/4)

方法二 sin 函数重写

借助rewrite函数，使用sin函数重写表达式并化简：

syms x
expr = sin(x) + cos(x);simplify(rewrite(expr, 'sin'))
% 2^(1/2)*sin(x + pi/4)

方法三 subs 替换

可以在化简前先把所有的 $\cos (x)$ 使用 $\sin (x+\pi /2)$ 进行替换，再使用 simplify 函数化简，就可以得到只含有 $\sin (x)$ 的公式：

syms xy = sin(x) + cos(x);
% y = sin(x)+cos(x)y1 = subs(y, cos(x), sin(x+pi/2));y2 = simplify(y1)
% y2 = 2^(1/2)*sin(x + pi/4)pretty(y2)
%            /     pi \
% sqrt(2) sin| x + -- |
%            \      4 /

方法四 combine 函数结合

不过只能生成cos的表达式：

syms xexpr = sin(x) + cos(x);sc = combine(expr, 'sincos')
% 2^(1/2)*cos(x - pi/4)

注：只能合并生成cos表达式是因为合并各项使用的公式导致的：

该函数用的不是特别多，详细描述可自行查看：

• https://www.mathworks.com/help/symbolic/sym.combine.html

---

以下是更多与格式相关的函数讲解：

expand 详讲

与 combine 函数函数相对，expand 函数可以把公式展开：

syms x y
expand(cos(x + y))
% ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

rewrite 详讲

再详细讲讲rewrite这个函数叭，很有意思，能重写的格式很多，例如 $\sin (x)$ 用 $e^x$ 重写：

syms x
sin2exp = rewrite(sin(x), "exp")

$$\begin{array}{rl}& \sin 2\exp =\frac{{\mathrm{e}}^{-x\mathrm{i}}\mathrm{i}}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^{x\mathrm{i}}\mathrm{i}}{2}\end{array}$$

$\arccos (x)$ 用 $\ln$ 重写：

syms x
acos2log = rewrite(acos(x), "log")

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{acot}2\log =\frac{\log \left(1-\frac{\mathrm{i}}{x}\right)\mathrm{i}}{2}-\frac{\log \left(1+\frac{\mathrm{i}}{x}\right)\mathrm{i}}{2}\end{array}$$
全部重新格式：

更多格式转换

其他特殊公式的特殊格式改写，请参见以下网址：

• https://www.mathworks.com/help/symbolic/choose-function-to-rearrange-expression.html

取消简写

一些复杂公式若有重复的部分则会自动简写，例如：

syms a b c d x 
f = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d;
outputAbbrev = sin(f) + cos(f) + tan(f) + log(f) + 1/f

outputAbbrev =
$
\cos \left(\sigma_1\right)+\log \left(\sigma_1\right)+\sin \left(\sigma_1\right)+\tan \left(\sigma_1\right)+\frac{1}{\sigma_1}
$
where
$
\sigma_1=a x^3+b x^2+c x+d
$

可使用以下代码取消简写：

sympref('AbbreviateOutput', false);
outputLong = sin(f) + cos(f) + tan(f) + log(f) + 1/f

outputAbbrev =
$$\cos \left(a{x}^3+b{x}^2+cx+d\right)+\log \left(a{x}^3+b{x}^2+cx+d\right)+\sin \left(a{x}^3+b{x}^2+cx+d\right)+\tan \left(a{x}^3+b{x}^2+cx+d\right)+\frac{1}{a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$$

5 公式使用与导出

公式用于数值计算

一个很简单的带入数值的方法：

syms x y
f = (x^3 + y^2)^(log(x/y));
M(x,y) = f;M(1,2)
% ans = 1/5^log(2)M(1,x^3)
% ans = (x^6 + 1)^log(1/x^3)M([1,1],[2,3])
% ans = [1/5^log(2), 1/10^log(3)]fsurf(M)

除此之外可以使用subs函数进行元素替换：

syms x y
f = (x^3 + y^2)^(log(x/y));subs(f, [x,y], [1,2])
% ans = 1/5^log(2)

还可以转化为效率更高的匿名函数：

syms x y
f = (x^3 + y^2)^(log(x/y));
F = matlabFunction(f)
% F =
%   包含以下值的 function_handle:
%     @(x,y)(x.^3+y.^2).^log(x./y)F(1, 2)
% ans = 0.3277F([1,2,3], [2,2,2])
% ans = 0.3277    1.0000    4.0243

变换成匿名函数依旧可以直接用fplot, fsurf等函数绘图：

syms x y
f = (x^3 + y^2);
F = matlabFunction(f)fsurf(F)

摘取矩阵的部分元素

假设我们求出公式来是个矩阵，但我们只想要他的某个元素而并不想要整个矩阵，那该咋办呢？直接使用formula函数即可获取矩阵每个位置的元素，再通过索引获取即可：

syms x
H = [x^3, x^2 + 1; x, log(x)]^3;
HM = formula(H);
HM(1,1)% ans = x^3*(x*(x^2 + 1) + x^6) + (x^2 + 1)*(x*log(x) + x^4)

公式存储

我们可以通过matlabFunction将结果存储为一个可调用的函数：

syms x
sols = root(x^5 - x^4 - 1,x)matlabFunction(sols, "File","myfile.m");

存储结果：

function sols = myfile
%MYFILE
%    SOLS = MYFILE%    This function was generated by the Symbolic Math Toolbox version 24.1.
%    2024-07-10 22:53:59t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t2 = t0(1);
t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t3 = t0(2);
t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t4 = t0(3);
t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t5 = t0(4);
t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t6 = t0(5);
sols = [t2;t3;t4;t5;t6];
end

当然也可以存储为mat文件：

syms x
f = x^2 + 3;
f = matlabFunction(f);% 存储为mat文件：
save test.mat f% 导入mat文件并使用：
T = load('test.mat');
T.f(1)
% ans = 4

公式美化

为了导出的时候比较好看，可以对公式格式进行适当调整，注意，要是有不低于R2019b版本的MATLAB才有此功能：

syms K
A = [-1, 0, 1; 1, 2, 0; 1, 1, 0];
B = K^2*A

B = $\left(\begin{array}{ccc}-K^2& 0& K^2\\ K^2& 2K^2& 0\\ K^2& K^2& 0\end{array}\right)$

让其按照我们想要的格式进行输出：

displayFormula("B = K^2*A")

$\left(\begin{array}{ccc}-K^2& 0& K^2\\ K^2& 2K^2& 0\\ K^2& K^2& 0\end{array}\right)=K^2\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

公式标注

通过下划线和双下划线为变量添加角标：

syms F_a F_b
Ftot1 = F_a + F_b

Ftot1 = $F_a+F_b$

syms F__a F__b
Ftot2 = F__a + F__b

Ftot2 = $F^a+F^b$

再比如加入点：

syms x x_dot x_ddot c m k
eq1 = m*x_ddot - c*x_dot + k*x == 0

eq1 = $kx-c\dot{x}+m\ddot{x}=0$

更多标注：

suffix = ["ast"; "dag"; "deg"; "hat"; "tilde"; ..."vec"; "bar"; "ubar"; "dot"; "ddot"; "tdot"; ..."qdot"; "prime"; "dprime"; "tprime"; "qprime"];
accentList = [suffix, sym("x_" + suffix)].'

公式导出

如果是在m文件编写的公式，可以使用latex函数将其转换为latex代码：

syms x
S = [sym(1)/3 x; exp(x) x^2]latex(S)
% ans = 
% '\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & x\\ {\mathrm{e}}^x & x^2 \end{array}\right)'

当然也可以转换为mathml:

mathml(S)
% ans =
%     '<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML' display='block'>
%        <mrow>
%          <mo form='prefix'>(</mo>
%          <mtable>
%            <mtr>
%              <mtd>
%                <mfrac>
%                  <mn>1</mn>
%                  <mn>3</mn>
%                </mfrac>
%              </mtd>
%              <mtd>
%                <mi>x</mi>
%              </mtd>
%            </mtr>
%            <mtr>
%              <mtd>
%                <msup>
%                  <mo>&ee;</mo>
%                  <mi>x</mi>
%                </msup>
%              </mtd>
%              <mtd>
%                <msup>
%                  <mi>x</mi>
%                  <mn>2</mn>
%                </msup>
%              </mtd>
%            </mtr>
%          </mtable>
%          <mo form='postfix'>)</mo>
%        </mrow>
%      </math>
%      '

对于一部分版本的word，该代码是可以直接复制到word并转换为公式的，对于不能直接复制的情况，可以先复制到mathType再将其复制到word文档：

如果是在实时编辑器编写的代码，可以点击公式右上角三个点：

文件导出

如果在实时编辑器进行编写，可将图文导出为各种常用格式：

参考

• https://www.mathworks.com/help/symbolic/syms.html
• https://www.mathworks.com/help/symbolic/simplify.html
• https://www.mathworks.com/help/symbolic/rewrite.html
• https://www.mathworks.com/help/symbolic/sym.combine.html
• https://www.mathworks.com/help/symbolic/simplifysymbolicexpression.html
• https://www.mathworks.com/help/symbolic/choose-function-to-rearrange-expression.html
• https://www.mathworks.com/help/symbolic/formula-manipulation-and-simplification.html
• https://www.mathworks.com/help/symbolic/add-subscripts-superscripts-accents-to-symbolic-variables.html