探索数据结构：快速排序与归并排序的实现与优化

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所属专栏：数据结构与算法
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1. 快速排序

1.1. 算法思想

**快速排序(Quick Sort)**是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。

1.2. 算法实现

快速排序的实现方式有很多，下面我们主要介绍三种方法。

1.2.1. Hoare法

1. 利用两个变量left，right分别指向数组的起始位置与末尾位置。并且以数组第一个元素作为key值。
2. right先从右往左依次遍历找到比key小的数，left从左往右依次遍历找到比key大的数。然后交换left与right下标对应的值。重复步骤2直至right>=left。
3. 之后交换key与left或者right对应的值，并且把该位置记为mid。
4. 最后划分区间[left，mid-1]与[mid+1,right]继续重复1,2步骤。直至不能划分。

思考：为什么最后相遇位置一定小于或等于**key**值？

我们知道right与left相遇无非两种情况：

1. 情况一：right停住，left移动与right相遇·。因为right一直再找比key小的值，所以right停下位置一定比key小，相遇位置也一定比key小。
2. 情况二：left停住，right移动与left相遇·。此时又分为两种情况：

• left从未移动，右侧数据都比可以大，相遇位置就是key，交换不变。
• left移动过至少一次，也就是至少交换过一次，此时left停留位置的值是上一轮right所对应的值，又因为right一直再找比key小的值，所以相遇位置也一定比key小。

代码实现：

void swap(int* p1, int* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}
int PartSort1(int* arr, int begin, int end)
{int left = begin, right = end;int keyi = begin;while (left < right){//left<right防止越界//使用>=而不是>防止数据出现死循环while (left<right && arr[right]>=arr[keyi])//寻找比key小的值{right--;}while (left < right && arr[left] <= arr[keyi])//寻找比key大的值{left++;}swap(&arr[left], &arr[right]);}int mid = left;swap(&arr[keyi], &arr[mid]);return mid;
}
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{if (left >= right)//不能划分{return;}int mid = PartSort1(arr, left, right);//单趟排序QuickSort(arr, left, mid - 1);//左区间QuickSort(arr, mid+1, right);//右区间
}

1.2.2. 挖坑法

1. 先将起始位置key值 设为坑，之后right从右往左找比key值小的值，找到之后放入坑位，此时right就形成新的坑。然后left从左往右找比key大的值， 找到之后放入坑位，此时left就又形成新的坑。
2. 最后left与right相遇，将key放入最后一个坑，并将该位置记为mid，。·
3. 最后划分区间[left，mid-1]与[mid+1,right]继续重复1,2步骤。直至不能划分。

代码实现：

int PartSort2(int* arr, int begin, int end)
{int left = begin, right = end;int hole = begin;//记录坑位int key = arr[left];while (left < right){//left<right防止越界//使用>=而不是>防止数据出现死循环while (left < right && arr[right] >= key)//寻找比key小的值{right--;}arr[hole] = arr[right];hole = right;while (left < right && arr[left] <= key)//寻找比key大的值{left++;}arr[hole] = arr[left];hole = left;}arr[hole] = key;return hole;
}
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{if (left >= right)//不能划分{return;}int mid = PartSort2(arr, left, right);//单趟排序QuickSort(arr, left, mid - 1);//左区间QuickSort(arr, mid+1, right);//右区间
}

1.2.3. 前后指针法

1. 先定义一个prev指向数组首元素，然后定义一个cur指向第二个位置。
2. cur从左往右依次遍历找key小的值，找到之后++prev，然后交换prev与cur指向的值。之后cur++继续遍历。(key为起始位置的值)
3. 当cur遍历完之后，此时交换prev指向的值与key。将此时位置记为mid。
4. 最后划分区间[left，mid-1]与[mid+1,right]继续重复1,2,3步骤。直至不能划分。

代码实现：

int PartSort3(int* arr, int begin, int end)
{int prev = begin;int cur = begin + 1;int keyi = begin;while (cur <= end){if (arr[cur] < arr[keyi])//小于则交换{swap(&arr[++prev], &arr[cur]);}cur++;	}swap(&arr[prev], &arr[keyi]);return prev;
}
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{if (left >= right)//不能划分{return;}int mid = PartSort3(arr, left, right);//单趟排序QuickSort(arr, left, mid - 1);//左区间QuickSort(arr, mid+1, right);//右区间
}

1.3. 复杂度分析

• 时间复杂度：通常情况下，需要递归logN层，每层都需要遍历，所以时间复杂度为O(NlogN)。
• 空间复杂度：通常情况下，需要递归logN层，所以空间复杂度为O(logN)。

1.4. 算法优化

1.4.1. 改变基准元素

当数组有序时，我们再对其进行快速排序，其时间复杂度讲话劣化为O(N2)。

这时候我们为了防止这种现象，可以选择提前改变基准元素key。

• 三数取中：即取出数组首尾以及中间元素，选取数值位于中间的元素作为准元素key。

int GetMidNum(int*arr, int left, int right)
{int mid = (left + right) >> 1;if (arr[mid] > arr[left]){if (arr[mid] < arr[right]){	//left  mid  rightreturn mid;}else if (arr[left] > arr[right]){	//right  left  midreturn left;}else{	//left  right  midreturn right;}}
}
int PartSort3(int* arr, int begin, int end)
{int prev = begin;int cur = begin + 1;int keyi = begin;int mid=GetMidNum(arr, begin, end);swap(&arr[begin], &arr[mid]);while (cur <= end){if (arr[cur] < arr[keyi])//小于则交换{swap(&arr[++prev], &arr[cur]);}cur++;	}swap(&arr[prev], &arr[keyi]);return prev;
}

• 随机数取中：三数取中有时候也并不能保证基准元素的准确性，这时候我们最好使用随机数获取基准值。

int GetRanNum(int*arr, int left, int right)
{srand(time(0));//生成随机种子int mid = rand() % (right - left) + left;//随机数return mid;
}

1.4.2. 聚集元素

除了数组有序的情况外，还有一种情况也会导致快速排序的时间复杂度劣化为O(N2 )，那就是当数组元素全部相同时。

为了解决这个问题，我们采用一种三指针分化区间的方式。其步骤如下：

1. 分别定义三个指针left,cur,right分别指向数组首元素，第二个元素，最后一个元素。
2. 从左往右用cur依次遍历数组：(key为数组第一个元素)

• 如果arr[cur]<key，交换arr[cur]与arr[left]，再让cur++``left++。
• 如果arr[cur]>key，交换arr[cur]与arr[right]，再让right--。
• 如果arr[cur]==key，直接让cur++。

1. 重复步骤2直至cur>right,成功划分区间。小于key：[begin,left-1]，等于key：[left, right] 大于key：[right + 1, end]。

问题：为什么当arr[cur]>key，交换arr[cur]与arr[right]时不让cur++？

因为交换过来的值可能比key大，也可能比key小。如果直接cur++，并不能对这个元素进行正确的划分。

void ThreeDivision(int*arr, int*left, int*right)
{int cur = *left + 1;int key = arr[*left];while (cur <= *right){if (arr[cur] < key)//大于key{swap(&arr[(*left)++], &arr[cur++]);}else if (arr[cur] > key)//小于key{swap(&arr[cur], &arr[(*right)--]);}else//等于key{cur++;}}
}
void QuickSort(int* arr, int begin, int end)
{if (begin >= end)//不能划分{return;}if ((end - begin + 1) < 10)//小区间优化{InsertSort(arr, end - begin + 1);return;}int mid = GetRanNum(arr, begin, end);swap(&arr[begin], &arr[mid]);int left = begin;int right = end;ThreeDivision(arr, &left, &right);//三指针划分区间//[begin, left - 1][left, right][right + 1, end]QuickSort(arr, begin, left - 1);//左区间QuickSort(arr, left+1, end);//右区间
}

1.4.3. 区间优化

在我们进行递归调用时，递归越深递归调用的次数就会越多，为了优化这个问题，我们可以当区间较小时采用其他排序。

其中我们将递归调用抽象成树的形式：

其中根据我们在树那节学习的知识，我们知道第i层的节点数为2i-1 个，节点总数为2h -1个，**最后三次调用次数就约占据总次数的87.5%。**所以我们可以在倒数三层之后采用其他排序，如插入排序。

void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{if (left >= right)//不能划分{return;}if ((right - left + 1) < 10)//小区间优化{InsertSort(arr+left, right - left + 1);return ;}int mid = PartSort3(arr, left, right);//单趟排序QuickSort(arr, left, mid - 1);//左区间QuickSort(arr, mid+1, right);//右区间
}

1.4.4. 尾递归优化

我们知道快速排序的空间复杂度最坏情况下会劣化为O(N)，为了防止栈帧空间的积累，我们可以采用尾递归形式进行递归，并且仅对较短的子数组进行递归。由于较短子数组的长度不会超过n/2，因此这种方法能确保递归深度不超过logN ，从而将最差空间复杂度优化至O(logN) 。

void QuickSort(int* arr, int begin, int end)
{while (begin < end){int mid = PartSort3(arr, begin, end);if (mid - begin<end - mid)//左区间{QuickSort(arr, begin, mid-1);begin = mid + 1;//更新区间}else{QuickSort(arr, mid + 1, end);//右区间end = mid - 1;//更新区间}}
}

1.5. 非递归实现

我们知道当递归太深时会存在栈溢出的风险，为了避免这种风险我们除了采用尾递归优化空间外，我们还可以采用非递归的形式实现。

非递归实现的方法需要借助栈这个数据结构，利用其后进先出的形式模拟实现递归，具体步骤如下：

1. 首先将左右端点begin，end入栈。
2. 如果栈不为空，则先出栈右端点right，在出栈左端点left，然后将[left,right]进行单趟排序得到基准点keyi。
3. 然后判断[left,keyi-1],[keyi+1,right]区间是否合法，合法就继续入栈。
4. 最后重复步骤2,3，直至栈为空。

void QuickSortNonR(int* a, int begin, int end)
{Stack st;InitStack(&st);PushStack(&st, begin);PushStack(&st, end);//入栈while (!StackEmpty(&st)){//先出为右端点int right = StackTop(&st);PopStack(&st);//后出为左端点int left = StackTop(&st);PopStack(&st);//单趟排序int keyi = PartSort3(a, left, right);//先入右if (keyi + 1 < right)//判断区间是否存在{PushStack(&st, keyi + 1);PushStack(&st, right);}//后入左if (left< keyi-1){	PushStack(&st, left);PushStack(&st, keyi - 1);}}DestroyStack(&st);
}

2. 归并排序

2.1. 算法思想

**归并排序（Merge Sort）**是建立在归并操作上的一种有效的排序算法, 该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

2.2. 算法步骤

1. 创建一个与待排序数组同等大小的tmp数组。
2. 然后将待排序数组分为两个子数组，让两个子数组有序。为了让这两个子数组有序，我们又要将每个子数组分为两个子数组，让其有序。
3. 当子数组没有元素或者只有一个元素时，我们可以认为其有序，然后将两个子数组开始归并。
4. 归并时因为两个子数组有序，我们可以定义两个指针begin1，begin2分别指向两个数组起始位置。然后遍历比较arr[begin1]与arr[begin2]，取较小的元素尾插进tmp数组。
5. 最后tmp数组数据拷贝回原数组。

2.3. 动图演示

2.4. 代码实现

void _MergeSort(int* arr, int begin, int end, int* tmp)
{if (begin >= end){return;}int mid = (begin + end) >> 1;//以中间为分割点_MergeSort(arr, begin, mid, tmp);//归并左区间_MergeSort(arr, mid+1, end, tmp);//归并右区间int i = begin;		int begin1 = begin, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = end;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (arr[begin1] < arr[begin2]){tmp[i++] = arr[begin1++];}else{tmp[i++] = arr[begin2++];}}//若是还有区间存在数据while (begin1 <= end1){tmp[i++] = arr[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = arr[begin2++];}//最后将归并完后后的数据拷贝回原数组memcpy(arr + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}
void MergeSort(int* arr, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail:");return;}_MergeSort(arr, 0, n - 1, tmp);free(tmp);tmp = NULL;
}

2.5. 复杂度分析

• 时间复杂度：通常情况下，需要递归logN层，每层都需要遍历，所以时间复杂度为O(NlogN)。
• 空间复杂度：通常情况下，需要创建tmp临时数组，所以空间复杂度为O(N)。

2.6. 算法优化

2.6.1. 区间优化

与快速排序类似，当递归调用层数越多时，最后三层的递归调用会浪费大量时间。为了避免这种情况，这时我们就可以采用小区间使用插入排序的方法。

void _MergeSort(int* arr, int begin, int end, int* tmp)
{if (begin >= end){return;}if (end-begin+1<10)//小区间优化{InsertSort(arr+begin, end-begin+1);return;}int mid = (begin + end) >> 1;//以中间为分割点_MergeSort(arr, begin, mid, tmp);//归并左区间_MergeSort(arr, mid+1, end, tmp);//归并右区间int i = begin;		int begin1 = begin, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = end;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (arr[begin1] < arr[begin2]){tmp[i++] = arr[begin1++];}else{tmp[i++] = arr[begin2++];}}//若是还有区间存在数据while (begin1 <= end1){tmp[i++] = arr[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = arr[begin2++];}//最后将归并完后后的数据拷贝回原数组memcpy(arr + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}

2.6.2. 判断区间有序

在归并排序合并时，如果两个区间是有序,即arr[end1]<=arr[begin2]时就不需要对其进行归并。

void _MergeSort(int* arr, int begin, int end, int* tmp)
{if (begin >= end){return;}int mid = (begin + end) >> 1;//以中间为分割点_MergeSort(arr, begin, mid, tmp);//归并左区间_MergeSort(arr, mid+1, end, tmp);//归并右区间int i = begin;		int begin1 = begin, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = end;if (arr[begin2] < arr[end1])//区间有序则不合并{while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (arr[begin1] < arr[begin2]){tmp[i++] = arr[begin1++];}else{tmp[i++] = arr[begin2++];}}//若是还有区间存在数据while (begin1 <= end1){tmp[i++] = arr[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = arr[begin2++];}//最后将归并完后后的数据拷贝回原数组memcpy(arr + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));}
}

2.7. 非递归实现

非递归实现归并排序，就需要通过迭代来模拟归并排序归并的过程。这时我们可以通过一个变量gap来代表归并区间的大小，初始化gap=1并且每次归并完成之后gap*=2。

void MergeSortNonR(int* arr, int n)//非递归实现
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail:");return;}int gap = 1;//归并区间大小while (gap < n){for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap){int j = i;//记录起始位置int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (arr[begin1] < arr[begin2]){tmp[j++] = arr[begin1++];}else{tmp[j++] = arr[begin2++];}}//若是还有区间存在数据while (begin1 <= end1){tmp[j++] = arr[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[j++] = arr[begin2++];}//归并一组拷贝一组memcpy(arr + i, tmp + i, sizeof(int) * (end2 - i + 1));}gap *= 2;}
}

但是这段代码有一个明显的问题，那就是可能出现越界访问的情况，分别可能是end1越界，begin2越界， end2`越界。

• 情况一：end1越界，begin2越界，只有一个区间在原数组内，不需要归并拷贝，直接break跳出循环。
• 情况二：end2越界，有两个区间在原数组内，需要归并拷贝，修正end2=n-1。

void MergeSortNonR(int* arr, int n)//非递归实现
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail:");return;}int gap = 1;//归并区间大小while (gap < n){for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap){int j = i;//记录起始位置int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;if (end1 >= n || begin2 >= n){break;}if (end2 >= n){end2 = n - 1;}while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (arr[begin1] < arr[begin2]){tmp[j++] = arr[begin1++];}else{tmp[j++] = arr[begin2++];}}//若是还有区间存在数据while (begin1 <= end1){tmp[j++] = arr[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[j++] = arr[begin2++];}memcpy(arr + i, tmp + i, sizeof(int) * (end2 - i + 1));}gap *= 2;}
}

3. 文件外排序

当数据量很少时，数据都存在内存中，我们可以用的排序多种多样。但是当数据量足够大时，数据就将会放在磁盘文件中，这时文件指针很难完成随机偏移。即使有着fseek的库函数，效率也是极低的，所以这时最好选择归并排序对其进行排序。

步骤如下：

1. 首先将一个待排序文件分成若干份，每一份文件存储数据都不大于内存最大的容纳范围。
2. 然后将这若干个小文件放入内存中对其进行排序，使每一个文件有序。
3. 然后利用归并排序的思想，以每一个小文件为基准进行归并。
4. 最后归并完毕，就能使原数据量较大的文件有序。

void _MergeSortFile(const char* file1, const char* file2, const char* mfile)
{FILE* fout1 = fopen(file1, "r");if (fout1==NULL){perror("fopen fail");return;}FILE* fout2 = fopen(file2, "r");if (fout2==NULL){perror("fopen fail");return;}FILE* fin = fopen(mfile, "w");if (fin==NULL){perror("fopen fail");return;}int num1, num2;int ret1 = fscanf(fout1, "%d\n", &num1);//利用返回值判断是否结束int ret2 = fscanf(fout2, "%d\n", &num2);while (ret1 != EOF && ret2 != EOF){//文件指针在读取时会自动往后移动if (num1 < num2){fprintf(fin, "%d\n", num1);ret1 = fscanf(fout1, "%d\n", &num1);}else{fprintf(fin, "%d\n", num2);ret2 = fscanf(fout2, "%d\n", &num2);}}while (ret1 != EOF){fprintf(fin, "%d\n", num1);ret1 = fscanf(fout1, "%d\n", &num1);}while (ret2 != EOF){fprintf(fin, "%d\n", num2);ret2 = fscanf(fout2, "%d\n", &num2);}fclose(fout1);fclose(fout2);fclose(fin);
}/*文件外排序*/
void MergeSortFile(const char* file)
{FILE* fout1 = fopen(file, "w");if (fout1 == NULL){perror("fopen fail");return;}for (int i = 0; i < 100; ++i){int num = rand() % 100;fprintf(fout1, "%d\n", num);}fclose(fout1);FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout==NULL){perror("fopen fail");return;}int num = 0;const int n = 10;//每个小文件数据个数int i = 0;int arr[10];char subfile[20];int filei = 1;memset(arr, 0, sizeof(int) * n);//初始化//将大文件分为小文件while (fscanf(fout, "%d\n", &num) != EOF){//首先读9个数据到数组中。//如果是一次读取10个数据，第11次进入else时的num会被忽略if (i < n - 1){arr[i++] = num;	}else{arr[i] = num;//放入第10个数据QuickSort(arr, 0, n - 1);		//进行排序sprintf(subfile, "%d", filei++);//文件名FILE* fin = fopen(subfile, "w");if (fin==NULL){perror("fopen fail:");return;}//将排序好数据写入每个小文件for (int j = 0; j < n; ++j){fprintf(fin, "%d\n", arr[j]);}fclose(fin);i = 0;		//i重新置0，方便下一次的读取memset(arr, 0, sizeof(int) * n);//重置}}//两两归并文件char file1[100] = "1";char file2[100] = "2";char mfile[100] = "12";for (int i = 2; i <= 10; i++){_MergeSortFile(file1, file2, mfile);strcpy(file1, mfile);sprintf(file2, "%d", i + 1);//更新文件名sprintf(mfile, "%s%d", mfile, i + 1);//更新文件名}
}