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问题描述

在笛卡尔坐标系oxyz中，xoy平面上存在平面p1。将该平面绕y轴逆时针旋转β角度后得到平面p2，平面p2与xoz平面（y=0）的交线记为L。将p2依次绕L顺时针旋转α₁、α₂角度，得到新平面p3、p4。再将p4绕z轴旋转180°得到平面p5。需计算平面p3与p5的交线在xoy平面上的投影与x轴的夹角，并代入β=25°、α₁=10°、α₂=30°进行验证。

推导过程

步骤1：平面p1绕y轴旋转生成p2

初始状态：平面p1为xoy平面（z=0），法向量为(0, 0, 1)
旋转变换：绕y轴逆时针旋转β后，法向量变为(-sinβ, 0, cosβ)，平面方程为：
$\sin\beta \cdot x - \cos\beta \cdot z = 0$

步骤2：确定交线L

几何特性：平面p2与xoz平面（y=0）相交，联立方程得交线L
方向向量：由法向量叉乘计算，方向向量为(cosβ, 0, sinβ)

步骤3：绕L旋转生成p3、p4

罗德里格斯旋转：以L为轴顺时针旋转α₁、α₂角度后：
- p3法向量：(-sinβcosα₁, sinα₁, cosβcosα₁)
- p4法向量：(-sinβcosα₂, sinα₂, cosβcosα₂)

步骤4：生成平面p5

z轴旋转：将p4绕z轴旋转180°，法向量变为：
$(\sin\beta\cosα₂, -\sinα₂, \cos\beta\cosα₂)$

步骤5：计算交线方向向量

叉乘运算：p3与p5的法向量叉乘得交线方向向量：
$\mathbf{v} = \left( \cos\beta\sin(α₁+α₂),\ 2\sin\beta\cosα₁\cosα₂,\ \sin\beta\sin(α₂-α₁) \right)$

步骤6：投影与夹角计算

投影处理：保留x、y分量，投影方向向量为：
$\mathbf{v}_{proj} = \left( \cos\beta\sin(α₁+α₂),\ 2\sin\beta\cosα₁\cosα₂ \right)$
正切公式：
$\tan\theta = \frac{2\sin\beta\cosα₁\cosα₂}{\sin(α₁+α₂)}$

步骤7：数值计算验证

代入β=25°，α₁=10°，α₂=30°：
$\tan\theta = \frac{2\sin25°\cos10°\cos30°}{\sin40°} \approx 1.120 \implies \theta \approx 48.3°$

python推导

import sympy as sp
from sympy import sin, cos, tan, atan2, pi, Matrix# 定义符号变量
beta, alpha1, alpha2 = sp.symbols('beta alpha1 alpha2')# 步骤1：平面p1绕y轴旋转得到平面p2的法向量
n_p2 = Matrix([-sin(beta), 0, cos(beta)])# 步骤2：平面p2与xoz平面交线L的方向向量
dir_L = Matrix([cos(beta), 0, sin(beta)])# 步骤3：平面p2绕直线L旋转得到平面p3和p4的法向量
# 罗德里格斯旋转公式
def rodrigues(v, k, theta):v_rot = v * cos(theta) + (k.cross(v)) * sin(theta) + k * (k.dot(v)) * (1 - cos(theta))return v_rotk = dir_L / dir_L.norm()  # 单位旋转轴
n_p3 = rodrigues(n_p2, k, -alpha1)  # 顺时针旋转alpha1
n_p4 = rodrigues(n_p2, k, -alpha2)  # 顺时针旋转alpha2# 步骤4：平面p4绕z轴旋转180°得到平面p5的法向量
R_z_180 = Matrix([[cos(pi), -sin(pi), 0],[sin(pi), cos(pi), 0],[0, 0, 1]])
n_p5 = R_z_180 * n_p4# 步骤5：计算平面p3和p5的交线方向向量
dir_intersect = n_p3.cross(n_p5)# 步骤6：投影到xoy平面并计算夹角
dir_project = Matrix([dir_intersect[0], dir_intersect[1], 0])
tan_theta = dir_project[1] / dir_project[0]
theta = atan2(dir_project[1], dir_project[0])# 化简表达式
tan_theta_simplified = sp.simplify(tan_theta)
theta_simplified = sp.simplify(theta)print("tan(theta) =", tan_theta_simplified)
print("theta =", theta_simplified)

输出：

python验证

import sympy as sp
from sympy import sin, cos, atan2, pi, sqrt# 定义符号变量
beta, alpha1, alpha2 = sp.symbols('beta alpha1 alpha2')# 代入具体数值
beta_val = 25 * pi / 180  # 25度转换为弧度
alpha1_val = 10 * pi / 180  # 10度转换为弧度
alpha2_val = 30 * pi / 180  # 30度转换为弧度# 计算tan(theta)
tan_theta = 2 * sqrt(sp.Abs(sin(beta))**2 + sp.Abs(cos(beta))**2) * sin(beta) * cos(alpha1) * cos(alpha2) / sin(alpha1 + alpha2)# 计算theta
theta = atan2(2 * sin(beta) * cos(alpha1) * cos(alpha2) * cos(beta), sin(alpha1 + alpha2) * cos(beta) / sqrt(sp.Abs(sin(beta))**2 + sp.Abs(cos(beta))**2))# 代入数值并计算
tan_theta_val = tan_theta.subs({beta: beta_val, alpha1: alpha1_val, alpha2: alpha2_val})
theta_val = theta.subs({beta: beta_val, alpha1: alpha1_val, alpha2: alpha2_val})# 将theta从弧度转换为角度
theta_deg = sp.deg(theta_val)print("tan(theta) =", tan_theta_val.evalf())
print("theta (弧度) =", theta_val.evalf())
print("theta (角度) =", theta_deg.evalf())

输出：
tan(theta) = 1.12148339835876
theta (弧度) = 0.842599117084027
theta (角度) = 48.277373230364