02归并排序——分治递归

02_归并排序_——分治_递归_

#include <stdio.h>void merge(int arr[], int l, int m, int r)
{int n1 = m -l + 1;int n2 = r -m;//创建临时数组int L[n1], R[n2];for(int i = 0; i < n1; i++){L[i] = arr[l + i];}for(int j = 0; j < n2; j++){R[j] = arr[m + 1 + j];}int i = 0, j = 0, k = l;while(i < n1 && j < n2){if(L[i] <= R[j]){arr[k] = L[i];i++;}else{arr[k] = R[j];j++;}k++;}while(i < n1){arr[k] = L[i];i++;k++;}while(j < n2){arr[k] = R[j];j++;k++;}
}void mergeSort(int arr[], int l, int r)
{if(l < r){int m = l + (r - 1) / 2;mergeSort(arr, l, m);mergeSort(arr, m + 1, r);mergeSort(arr, l, m, r);}
}void printArrary(int arr[], int size)
{for(i = 0; i < sieze; i++){printf("%d ", arr[i]);}printf("\n");
}int main()
{int arr[] ={12, 11, 10, 5, 6, 3};int arr_sieze = sizeof(arr) / siezeof(arr[0]);printf("排序前的数组：\n");printArray(arr, arr_size);mergeSort(arr, 0, arr_size - 1);printf("排序后的数组：\n");printArray(arr, arr_size);return 0;
}

notion

递归

递归指的是一个函数直接或间接调用自身。递归通常用于解决可以分解为子问题的复杂问题，每个子问题的结构与原问题相似

1. 基准情况：

   这是递归函数的终止条件，当满足这个条件时，递归停止，直接返回结果

2. 递归情况：

   这是递归函数调用自身的地方，将问题分解成一个或多个子问题，然后递归地解决这些子问题

从栈的角度分析递归

第一次调用：

入栈

1. mergeSort(arr, 0, 5) 被调用
2. l = 0, r = 5, 计算中间点 m = 2
3. 入栈 mergeSort(arr, 0, 2) 和mergeSort(arr, 3, 5)

出栈

1. 等待 mergeSort(arr, 0, 2) 和 mergeSort(arr, 3, 5) 完成

2. 合并 merge(arr, 0, 2, 5)

第二次调用(左半部分)

入栈

• mergeSort(arr, 0, 2) 被调用。
• l = 0, r = 2, 计算中间点 m = 1。
• 入栈 mergeSort(arr, 0, 1) 和 mergeSort(arr, 2, 2)。

出栈

• 等待 mergeSort(arr, 0, 1) 和 mergeSort(arr, 2, 2) 完成。
• 合并 merge(arr, 0, 1, 2)。

第三次调用(左半部分的左半部分)

入栈

• mergeSort(arr, 0, 1) 被调用。
• l = 0, r = 1, 计算中间点 m = 0。
• 入栈 mergeSort(arr, 0, 0) 和 mergeSort(arr, 1, 1)。

出栈

• 等待 mergeSort(arr, 0, 0) 和 mergeSort(arr, 1, 1) 完成。
• 合并 merge(arr, 0, 0, 1)。

基准情况

入栈

• mergeSort(arr, 0, 0) 被调用。
• l = 0, r = 0，满足基准情况，直接返回。
• 入栈 mergeSort(arr, 1, 1) 被调用。
• l = 1, r = 1，满足基准情况，直接返回。

出栈

• mergeSort(arr, 0, 0) 和 mergeSort(arr, 1, 1) 返回后，合并 merge(arr, 0, 0, 1)。
• mergeSort(arr, 0, 1) 返回。

…

从栈的角度分析，不断的入栈，规模不断减小，等待基准条件满足再回归(出栈)，最高回归出结果

分治

过将一个复杂问题分解为较小的子问题，逐个解决这些子问题，然后合并解决方案来解决原问题。归并排序是分治法的典型例子。分治法的主要步骤包括：

1. 分解（Divide）：将原问题分解成若干个规模较小但形式与原问题相同的子问题
2. 解决（Conquer）：递归地解决这些子问题。当子问题规模足够小时（达到基准情况），直接解决
3. 合并（Combine）：将子问题的解决方案合并成原问题的解决方案

归并中的分治

分解

在归并排序中，数组arr[1…r] 被分解成两个数组：

左半部分：arr[l…m]

右半部分：arr[m+1…r]

其中，m 是中间点，计算公式为：m = l + (r - l) / 2

解决

对于每个子数组，递归地调用 mergeSort，继续将其分解成更小的子数组，直到每个子数组只包含一个元素或为空（达到基准情况），这时不需要进一步分解，直接返回

合并

当递归返回时，子数组已经有序，然后调用merge函数，将两个有序的子数组合并成一个有序的数组

归并排序的分治过程eg

假设我们有一个数组 arr = {12, 11, 13, 5, 6, 7}，我们调用 mergeSort(arr, 0, 5)。

1. 初始数组：arr = {12, 11, 13, 5, 6, 7}
2. 第一次分解：
   • 左半部分：{12, 11, 13}
   • 右半部分：{5, 6, 7}
3. 继续分解左半部分：
   • {12, 11, 13} -> {12, 11} 和 {13}
   • {12, 11} -> {12} 和 {11}
4. 基准情况：
   • {12} 和 {11} 不再分解，直接返回。
5. 合并左半部分：
   • 合并 {12} 和 {11} -> {11, 12}
   • 合并 {11, 12} 和 {13} -> {11, 12, 13}
6. 继续分解右半部分：
   • {5, 6, 7} -> {5, 6} 和 {7}
   • {5, 6} -> {5} 和 {6}
7. 基准情况：
   • {5} 和 {6} 不再分解，直接返回。
8. 合并右半部分：
   • 合并 {5} 和 {6} -> {5, 6}
   • 合并 {5, 6} 和 {7} -> {5, 6, 7}
9. 最终合并：
   • 合并 {11, 12, 13} 和 {5, 6, 7} -> {5, 6, 7, 11, 12, 13}

最终，数组被排序为 {5, 6, 7, 11, 12, 13}。