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LC77. 组合

题目要求

(一)回溯

要解决这个问题，我们需要生成从 [1, n] 范围内选择 k 个数的所有可能组合。组合的顺序不重要，即 [1, 2] 和 [2, 1] 被视为同一个组合。

1. 解决思路

我们可以使用回溯法（Backtracking）来生成所有可能的组合。回溯法是一种通过递归遍历所有可能解的方法，适用于组合、排列等问题。

2. 具体步骤

1. 递归函数设计：

   • 定义一个递归函数 backtrack(start, path)，其中：
     • start 表示当前可以选择的起始数字。
     • path 是当前已经选择的数字组合。
   • 如果 path 的长度等于 k，说明已经找到一个有效的组合，将其加入结果集。
   • 否则，从 start 开始遍历到 n，依次选择数字并递归调用。

2. 剪枝优化：

   • 在递归过程中，如果剩余的数字不足以填满 k 个数的组合，可以直接剪枝，避免无效递归。

3. 初始化调用：

   • 从 1 开始调用递归函数，初始 path 为空。

3. 代码实现

def combine(n, k):def backtrack(start, path):# 如果当前路径长度等于 k，加入结果集if len(path) == k:result.append(path.copy())return# 遍历可能的数字for i in range(start, n + 1):path.append(i)  # 选择当前数字backtrack(i + 1, path)  # 递归选择下一个数字path.pop()  # 撤销选择（回溯）result = []backtrack(1, [])return result

4. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(C(n, k) * k)，其中 C(n, k) 是组合数，表示从 n 个数中选 k 个数的组合数。每个组合需要 O(k) 的时间来复制到结果集中。
• 空间复杂度：O(k)，递归栈的深度为 k。

5. 示例解释

示例 1：

输入：n = 4, k = 2

• 调用 backtrack(1, [])，开始递归：
  • 选择 1，递归调用 backtrack(2, [1])：
    • 选择 2，得到组合 [1, 2]。
    • 选择 3，得到组合 [1, 3]。
    • 选择 4，得到组合 [1, 4]。
  • 选择 2，递归调用 backtrack(3, [2])：
    • 选择 3，得到组合 [2, 3]。
    • 选择 4，得到组合 [2, 4]。
  • 选择 3，递归调用 backtrack(4, [3])：
    • 选择 4，得到组合 [3, 4]。
  • 选择 4，递归调用 backtrack(5, [4])，不满足条件，直接返回。
• 最终结果为 [[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]]。

示例 2：

输入：n = 1, k = 1

• 调用 backtrack(1, [])，选择 1，得到组合 [1]。
• 最终结果为 [[1]]。

6. 总结

通过回溯法，我们可以高效地生成所有可能的组合。递归函数的设计和剪枝优化是解决问题的关键。