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集合与映射

定义1. 设  为  的子集，定义 到  的映射  ： 使得  ，称  为  到  的嵌入映射。

定义2. 设  为  的子集， 为  到  的映射， 为  到  的映射，如果 ，称为的开拓， 为  的限制，记为 。

 定义3. 设，为两个集合，令，集合称为与的直积。

运算

定义4. 设，，为三个非空集合，一个映射：，称为 与 到 的一个代数运算 。

定义5. 设上定义了二元运算，满足  称二元运算满足交换律。

定义6. 设上定义了二元运算，满足  称这个运算满足结合律。

定义7. 设上定义了两种运算，满足  称这个运算满足 对  的左分配律；满足  称这个运算满足 对  的右分配律。

集合中如果有定义，那么集合一定满足结合律。

集合中如果有定义，那么集合一定满足交换律。

 构造新集合的方法——关系

定义8. 关系：集合中一种对两个元素而说的一种性质，使得中任何两个元素或有这种性质或没有这种性质（两者必居其一，用 来表示）。将有关系的元素对构成 的子集，，反之，中有一个子集，则可以定义关系使得 。

定义9. 设， 中一个关系为中的一个子集。

定义10. 设 中定义了关系，若满足条件：

1）反身性

2）对称性 

3）传递性 ，则称为等价关系。

定义11. 设，中的一个划分是指中的一些子集合的集合，满足，包含而且仅包含在一个子集合中。中的一个划分就是将写成一些不相交的非空子集合之并：，。

定义12.设，中的一个等价关系，满足，定义集合（重复的只取一个），称为对的商集合。

定义13. 映射，称为到的自然映射。

定义14. 设，中定义了一个二元运算 ，有定义了等价关系，如果与满足条件：，则称为的同余关系。

定理1. 的一个分类决定中的一个等价关系。

定理2. 的一个等价关系决定中的一个分类。