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一、树的概念及结构

1.1二叉树的概念

1.2二叉树的表示方法

二、二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

2.2特殊的二叉树

2.3二叉树的储存结构

2.3.1顺序储存

2.3.2链式储存

2.4二叉树的性质

三、二叉树顺序结构及概念

3.1二叉树的顺序结构

3.2堆的概念及结构

3.3堆的实现

四、二叉树链式结构

4.1二叉树链式结构的遍历

4.2二叉树的链式实现

一、树概念及结构

1.1树概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

注：树的主要结构：

根结点：根节点没有前驱结点。
除根节点外，其余结点被分成是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
因此，树是递归定义的
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
叶节点：度为0的节点称为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中节点的最大层次
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
森林：由m棵互不相交的树的集合称为森林

1.2树的表示

树的结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表
示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

    typedef int DataType;struct Node{struct Node* firstChild1; struct Node* pNextBrother; DataType data; };

二、二叉树概念及结构

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2.2特殊的二叉树

1.满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种存储结构，一种顺序结构，一种链式结构。

2.3.1顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.3.2链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

二叉链与三叉链代码示例

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 二叉树节点结构体
typedef struct TreeNode {int data;struct TreeNode *left;struct TreeNode *right;
} TreeNode;// 创建新节点
TreeNode* createNode(int data) {TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));newNode->data = data;newNode->left = NULL;newNode->right = NULL;return newNode;
}// 插入节点（简单插入，未考虑平衡等问题）
TreeNode* insert(TreeNode* root, int data) {if (root == NULL) {return createNode(data);}if (data < root->data) {root->left = insert(root->left, data);} else if (data > root->data) {root->right = insert(root->right, data);}return root;
}// 中序遍历
void inorderTraversal(TreeNode* root) {if (root!= NULL) {inorderTraversal(root->left);printf("%d ", root->data);inorderTraversal(root->right);}
}int main() {TreeNode* root = NULL;root = insert(root, 50);insert(root, 30);insert(root, 20);insert(root, 40);insert(root, 70);insert(root, 60);insert(root, 80);printf("中序遍历结果: ");inorderTraversal(root);printf("\n");return 0;
}#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 三叉树节点结构体
typedef struct TriTreeNode {int data;struct TriTreeNode *left;struct TriTreeNode *right;struct TriTreeNode *parent;
} TriTreeNode;// 创建新节点
TriTreeNode* createTriNode(int data) {TriTreeNode* newNode = (TriTreeNode*)malloc(sizeof(TriTreeNode));newNode->data = data;newNode->left = NULL;newNode->right = NULL;newNode->parent = NULL;return newNode;
}// 插入节点（简单插入，未考虑平衡等问题）
TriTreeNode* insert(TriTreeNode* root, int data) {if (root == NULL) {return createTriNode(data);}if (data < root->data) {root->left = insert(root->left, data);root->left->parent = root;} else if (data > root->data) {root->right = insert(root->right, data);root->right->parent = root;}return root;
}// 中序遍历
void inorderTriTraversal(TriTreeNode* root) {if (root!= NULL) {inorderTriTraversal(root->left);printf("%d ", root->data);inorderTriTraversal(root->right);}
}int main() {TriTreeNode* root = NULL;root = insert(root, 50);insert(root, 30);insert(root, 20);insert(root, 40);insert(root, 70);insert(root, 60);insert(root, 80);printf("中序遍历结果: ");inorderTriTraversal(root);printf("\n");return 0;
}

2.4二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.

2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.

3.对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=Log2(n+1). (ps：Log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)

5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

三、二叉树顺序结构及概念

3.1二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2堆的概念及结构
如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

3.3堆的实现

代码如下：

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* _a;int _size;int _capacity;
}Heap;void swap(int *a, int *b);
void AdjustDown(int *a, int parent, int n);
void AdjustUp(int *a, int child, int n);// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);// 对数组进行堆排序
void HeapSort(int* a, int n);void swap(int *a, int *b)
{int tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}void AdjustUp(int *a, int child, int n)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}void AdjustDown(int *a, int parent,int n)
{int child = parent * 2 + 1;while ( child < n){if (child + 1 < n && a[child]<a[child + 1]){++child;}if(a[child]>a[parent]){swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = (parent * 2) + 1;}else{break;}}
}
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{assert(hp);hp->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);if (hp->_a == NULL){printf("malloc fail");exit(-1);}for (int i = 0; i < n; ++i){hp->_a[i] = a[i];}hp->_size = hp->_capacity = n;for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(hp->_a,i, hp->_size);}
}// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{assert(hp);hp->_size = hp->_capacity = 0;free(hp);
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{assert(hp);if (hp->_size == hp->_capacity){HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType)* 2 * hp->_capacity);if (tmp == NULL){printf("realloc fail");exit(-1);}hp->_a = tmp;hp->_a[hp->_size] = x;++hp->_size;hp->_capacity *= 2;}else{hp->_a[hp->_size] = x;++hp->_size;}AdjustUp(hp->_a, hp->_size-1, hp->_size);}
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp->_size>0);swap(&hp->_a[hp->_size-1], &hp->_a[0]);--hp->_size;AdjustDown(hp->_a, 0, hp->_size);
}
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp->_size>0);return hp->_a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{assert(hp);return hp->_size;
}
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp)
{assert(hp);return hp->_size == 0 ? 1 : 0;for (int i = 0; i < 3; ++i)}// 对数组进行堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{assert(a);for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, i, n);}int end = n - 1;while (end > 0){swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, 0, end);--end;}
}

四、二叉树链式结构及实现

4.1二叉树链式结构的遍历

遍历是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

前序/中序/后序的递归结构遍历：是根据访问结点操作发生位置命名。

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

4.2二叉树的链式实现

代码实现如下：

typedef char BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType _data;struct BinaryTreeNode* _left;struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;typedef BTNode* QDataType;
// 链式结构：表示队列 
typedef struct QListNode
{struct QListNode* _next;QDataType _data;
}QNode;// 队列的结构 
typedef struct Queue
{QNode* _front;QNode* _rear;
}Queue;BTNode* CreateBTNode(BTDataType x);
// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q);
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q);
// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q);
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q);
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q);
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
int QueueEmpty(Queue* q);
// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q);// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);
// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q)
{assert(q);q->_front = q->_rear = NULL;
}
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data)
{assert(q);QNode *newnode = ((QNode*)malloc(sizeof(QNode)));newnode->_data = data;newnode->_next = NULL;if (q->_rear == NULL){q->_front = q->_rear = newnode;}else{q->_rear->_next = newnode;//q->_rear = q->_rear->_next;q->_rear = newnode;}
}
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q)
{assert(q);assert(!QueueEmpty(q));if (q->_front == q->_rear){free(q->_front);//free(q->_rear);q->_front = q->_rear = NULL;}else{QNode *cur = q->_front->_next;free(q->_front);q->_front = cur;}
}
// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q)
{assert(q);assert(!QueueEmpty(q));return q->_front->_data;
}
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q)
{assert(q);assert(!QueueEmpty(q));return q->_rear->_data;
}
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q)
{assert(q);int size = 0;QNode* cur = q->_front;while (cur){++size;cur = cur->_next;}return size;
}
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
int QueueEmpty(Queue* q)
{assert(q);return q->_front == NULL ? 1 : 0;
}
// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q)
{assert(q);QNode *cur = q->_front;while (cur){QNode *next = cur->_next;free(cur);cur = next;}q->_front = q->_rear = NULL;
}BTNode* CreateBTNode(BTDataType x)
{BTNode *node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));node->_data = x;node->_left = NULL;node->_right = NULL;return node;
}// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{if (a[*pi] == '#'){return NULL;}BTNode *node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));node->_data = a[*pi];++*pi;node->_left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);++*pi;node->_right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);return node;
}
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{if (*root != NULL){if ((*root)->_left) // 有左孩子BinaryTreeDestory(&(*root)->_left); // 销毁左孩子子树if ((*root)->_right) // 有右孩子BinaryTreeDestory(&(*root)->_right); // 销毁右孩子子树free(*root); // 释放根结点*root = NULL; // 空指针赋NULL}
}
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right) + 1;
}
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->_left == NULL&&root->_right == NULL){return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);
}
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->_right, k - 1);
}
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->_data == x){return root;}BTNode* ret=BinaryTreeFind(root->_left,x);if (ret != NULL){return ret;}ret = BinaryTreeFind(root->_right, x);if (ret != NULL){return ret;}return NULL;
}
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){//printf("NULL  ");return;}printf("%c  ", root->_data);BinaryTreePrevOrder(root->_left);BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){//printf("NULL  ");return;}BinaryTreeInOrder(root->_left);printf("%c  ", root->_data);BinaryTreeInOrder(root->_right);
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){//printf("NULL  ");return;}BinaryTreePostOrder(root->_left);BinaryTreePostOrder(root->_right);printf("%c  ", root->_data);
}
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode *front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%c  ", front->_data);if (front->_left){QueuePush(&q, front->_left);}if (front->_right){QueuePush(&q, front->_right);}}
}
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode *front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front == NULL){break;}printf("%s ", front->_data);if (front->_left){QueuePush(&q, front->_left);}if (front->_right){QueuePush(&q, front->_right);}}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode *front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front != NULL){return 0;}}return 1;}

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