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一. 基本内容与重要结论

1. 基础知识

内积=0则正交，和自己的内积=0，则向量=0。

线性相关：

向量组之间的相互表示

极大无关向量组：与秩。

秩：极大无关向量组中所含向量的个数。

 

2. 重要定理

2.1. 线性表示与秩

 

s=系数矩阵的秩=增广矩阵的秩，则表示唯一

 

A能够表示B，则A的秩大
等价则秩相等

 

2.2. 整体组与部分组，延伸组与缩短组

• 部分相关，整体相关
• 整体无关，部分无关

• 组无关，延伸无关（延伸不改变组的秩）
• 延伸相关，缩短相关（缩短可能减小组的秩，更小的秩肯定更相关）。
  延伸（关于向量的长短，与向量组的个数无关）

 

• 多数能用少量表示，则多数相关

 

一. 典型例题

1. 线性相关性

题型一：利用向量组性质判断相关性

向量组的线性无关
A：向量组系数有一个不为零就相关
B：三行四列矩阵必相关，因为秩=3<4
C：4阶矩阵，看行列式是否=0
D：五行三列矩阵，看三阶子矩阵是否存在不等于0的情况。

 

四行三列矩阵，求三阶线性相关，则R=2，求出一个三阶子行列式=0即可。
t=1

 

• A：子矩阵相关，拓展矩阵一定相关 （不改变秩）对。
• B：由题a都能由β表示，多数能由少数表示，多数相关。
• C：$a_s$不是相关的一员，说明相关还在剩余的向量中。
• D：错。

 

列变化，转成右乘矩阵。+ R(AB)<= min(R(A),R(B))。

 

题型二：利用定义（进行线性表示）判断线性相关性

利用定义设。凑Ama=0，逐步证明系数=0，

 

利用定义，乘A-E，生成0，简化式子。

 

利用定义，乘A+E 、A-E生成0，简化式子。

 

ing。

 

题型三：充要证明

充分性与必要性的证明逻辑

 

题型四：右乘矩阵判断相关性

右乘矩阵。行列式=0。
 

右乘，判断矩阵的秩。

 

2. 线性表出

题型一：判断线性表出与表示式

1. 初等行变换，是最直观看到矩阵之间秩的关系。
2. 得基础解系。

 

1. 由秩的关系求出未知数a的可能性：线性表出秩的关系。

• 如果B能够线性表示A则秩B>=A
• A不能线性表示B，则秩A<B

2. 排除a的可能性。

 

利用定理

向量组无关，则部分组无关（a2,a3），所以a1能够由a2，a3表出。
利用相关定义，设置a1=k1a2+k2a3。再利用相关定义用a1,2,3表示a4得出谬论。

 

利用线性表出的定义。

 

3. 向量组的秩

题型一：利用秩来求极大线性无关组，与向量表示方法

1. 行变换，分情况讨论秩。
2. 极大无关组：主元。利用主元表示其余向量。

 

1. 右乘得出矩阵
2. 因为线性相关，所以秩<3，进行初等行变换，
3. 通过主元来表示其余向量
   

 

 

1. 秩的判断：
2. 利用初等行变换判断秩是最严谨的（判断秩的多少，秩不能为什么）。

 

 

4. 矩阵秩的证明