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基于物理的神经网络在河流淤积模拟中的应用
文献摘要
讨论|结论
理论介绍
PINN
实验方程
Ansys中的数学模型
实验设置
基于物理的神经网络在河流淤积模拟中的应用
文献摘要
本文从水动力学和污染物运移动力学的基本原理出发，全面探讨了用于研究泥沙淤积引起的河道污染过程的方法和建模工具，使用PINN与数值模拟技术无缝集成，提供了一种更有效、更精确的方法来模拟各种复杂的过程和现象。
所提出的数学模型以欧拉方程为基础，使用Ansys Fluent软件包进行了细致的实现，确保了计算的准确性和可靠性，利用Ansys Fluent软件包对使用PINN方法得到的结果与使用常规数值方法得到的结果进行了深入的对比分析。分析结果表明，PINN方法具有优越的性能，其特点是生成更平滑的压力波动曲线，大大减少了计算时间，突显了其作为一种变革性建模工具的潜力。从这项研究中得出的计算数据在目前与河流沉积的斗争中具有至关重要的意义。
这些模型的有效性取决于持续的监测和频繁的数据更新，以确保它们与现实情况保持一致。这项研究不仅有助于加强对泥沙淤积引起的河道污染的理解和主动管理，而且强调了先进的建模方法在为当代和后代保护宝贵的水资源方面的关键作用。
讨论|结论
河流冲积物质的主要来源是河流流域土壤、岩层和河岸的侵蚀。当河流在水流中携带这些物质时，它们会沉降到河道底部，改变河道的形状和深度，导致河流的地形演变偏离其自然河道。对泥沙淤积过程进行大规模的真实实验不仅极其困难，而且需要巨大的资源成本。通常，开发的数值算法在实验数据的基础上进行测试。
使用人工神经网络预测的质量取决于训练数据中的信息量和训练神经网络时误差函数的最小化，这为模拟物理现象开辟了新的可能性，例如排水过程和河流污染。然而，在流体动力学中，通常缺乏训练神经网络所需的实验数据。在本文中，研究采用数值模拟和PINN方法对结果进行比较，以确定每种方法的优点，这是由于PINN在有准确数据的情况下可以提供大量的计算优势。
文章做到了评估水生环境中的速度、压力和密度指标，为后续河道淤积建模提供依据。指标预测使用现代方法的物理通知神经网络。并将仿真结果与Ansys Fluent进行对比分析，以确定在计算速度和计算精度方面最优的方法。提出了用PINN法和数值模拟方法估算水环境中流速、压力和密度等指标的对比分析。利用PINN方法，及时得到的数值结果可用于后续河道及渠道淤积的数值模拟。预测上述指标对防治河流泥沙污染具有重要意义。
对于一个自然区域的数值模拟需要大量的计算成本，这取决于计算的面积，因为网格的构建中元素的数量起着重要的作用。
结果如下：
- 除了发生激波效应的区域外，速度、密度和压力指标的分布是相同的。
- 与Ansys数值模拟相比，PINN得出的结果可以更快地获得.
- 在一些用于防止实际区域泥沙污染河流的计算中，最好使用PINN方法。
- 虽然PINN方法可能提供计算优势，但在数据不足或不准确的情况下，其准确性可能会受到损害。
- 在某些物理条件下训练神经网络可能具有挑战性。另一方面，数值模拟在准确性方面表现出色，但可能需要大量的计算资源，使其在某些应用中效率较低。
数值模拟提供了精确的解决方案，并允许捕获明确的物理效应，如冲击波。这是通过仔细地将空间离散化为网格和每个网格元素上的方程的数值解来实现的。这种方法更适合于需要详细描述物理过程和效果的任务
另一方面，PINN方法提供了更平滑和更连续的解决方案，因为神经网络被训练成整合物理定律和条件。该方法降低了计算复杂度，并且在获得快速结果至关重要以及明确的物理效应不是主要关注的情况下是有效的。
值得注意的是，对于一个自然区域的数值模拟需要大量的计算成本，这取决于计算的面积，因为网格的构建中元素的数量起着重要的作用。因此，在一些用于防止实际区域泥沙污染河流的计算中，最好使用PINN方法。
理论介绍
PINN
实现PINN方法的一般步骤如下图所示:
具体描述为：
•物理问题的定义:首先明确定义你想要解决的物理问题
•数学模型的形成:将物理问题转化为数学模型（求解方程组是建立演化模型的关键）
•准备培训数据:收集网络培训所需的数据，可能包括模拟数据和实验数据。
•PINN的定义:创建一个将被训练来解决目标控制方程的神经网络。这个网络将被“物理告知”(PINN)，这意味着它将物理方程整合到训练过程中。
•损失函数的定义:指定在PINN训练过程中要最小化的损失函数。损失函数应该同时包含所添加的控制方程的条件和训练数据，保证网络提供物理上准确的解决方案。
•网络训练:利用训练数据和损失函数对网络进行训练。训练过程应该能够捕捉物理行为的演化过程并求解目标方程。
•结果验证:训练完成后，用测试数据或实际实验验证网络的结果。确保解决方案与物理现实和演变相一致。
•细化和优化:如果结果不符合您的要求，请对模型、损失函数和训练数据进行调整，然后重复该过程。
PINN(物理信息神经网络)方法旨在通过将基础物理纳入神经网络架构来解决偏微分方程或逆问题。通过在损失函数中加入与偏微分方程相关的正则化，模型的结构可以在训练过程中考虑物理定律。在本次研究中，选择tanh激活函数，因为它有效地代表了预测河流洪水水位的特定范围。
实验方程
考虑一维可压缩欧拉方程的特征形式，形式如下：
其中U为：
通常，对于激波管的标准水动力问题，初始条件为:
狄利克雷边界条件以初始条件的值为边界，在建模之前，先考虑问题的空间域W意味着什么。增加W，使当uL > uR时，W扩展使初始态向新扩展的空间域We的左侧倾斜。
为了用PINN求解欧拉方程，我们建立了一个深度神经网络U(x,t, 0)，其中(x,t)是网络的输入，U = [r, U, p]是输出。同样，标准损耗由公式确定：
Ansys中的数学模型
在本文，数学模型由描述波传播速度、接触不连续和激波不连续的二维欧拉方程组成。激波冲击管边缘前一段时间激波管问题有解析解。这一问题的解析解通常被用作可压缩解的一个例子。使用精确黎曼解也可以得到这个问题的解析解。，本文在Ansys Fluent软件包中对Sod问题进行了二维数值模拟。
基于密度的算法同时求解连续性、动量和能量和物质输运的基本方程。附加标量的控制方程将随后和顺序地求解。由于控制方程是非线性的(并且是耦合的)，在得到收敛解之前，必须执行求解循环的多次迭代，每次迭代由下图中描述的步骤组成。
基于密度的求解方法中，离散的非线性主方程被线性化以得到每个计算单元中因变量的方程组，然后对得到的线性方程组进行求解，得到更新的流场解。线性化控制方程的方法可以采用“隐式”或“隐式”形式，关于隐式、显式的解释如下：
- 隐式:对于给定变量，每个单元格中的未知值使用包含相邻单元格中现有值和未知值的比率来计算。因此，每个未知数会出现在系统的多个方程中，这些方程必须同时求解才能得到未知量。
- 显式:对于给定的变量，使用只包含现有值的关系计算每个单元格中的未知值。因此，每个未知数只会出现在系统中的一个方程中，并且每个单元格中未知值的方程可以一次解一个得到未知数。
在基于密度的求解方法中，可以选择对控制方程进行隐式或显式线性化。这种选择只适用于相关的主方程集，附加标量的输运方程与相关集合(如湍流、辐射等)分开求解。其中输运方程为线性化方程，采用隐式求解。无论选择隐式方法还是显式方法，都要执行上述决策过程。
如果选择密度求解器的显式变量，则相关主方程组中的每个方程都显式线性化。这将导致域中每个单元有N个方程的方程组，类似地，集合中的所有因变量将同时更新。然而，这个方程组对于未知因变量是显式的。例如，将x动量方程写成这样，更新后的速度x是场变量现有值的函数。因此，不需要线性方程求解器。
实验设置
带激波管的水动力问题是一个标准的水动力试验问题。该问题用作测试问题，以测试数值方法捕获求解守恒律特有的特征的能力。每个物理量的解给出一个接触不连续和一个激波，计算难点在于：会在不连续点处出现人为的散射，使得激波计算困难。
为了解释物理信息神经网络(PINN)建模的预测通用性，本研究选择欧拉问题为例进行分析。对于一个通用的PINN模型，提出了分析代表不同条件的几个不同的案例，并仔细证明每个案例的选择和代表性，提出的PINN模型可以准确预测不同场景下的堵塞关系。
文章考虑了以下的PINN架构：
结构的输入是两个值为t和x的向量，结果是三个值为u、p和ρ(速度、压力和密度)的向量。PINN的主要超参数如表1所示。神经网络的超参数为4个隐含层，每层30个神经元，优化过程为学习率为0.001的Adam优化器。对于每一层，激活函数为tanh函数。损失函数为给定数据和初始条件下的MSE，如式(4)和式(5)所示。
图4-6显示了在密度、压力和速度随时间分别= 0.2、0.6和0.8时使用PINN的预测结果。在这些图中，可以注意到，当激波移动时，密度从x = 0.5, t = 0.2变为x = 0.7, t = 0.8。结果表明，流体的稠度发生了变化，即流体中岩石颗粒逐渐饱和，即代表沉积在河道中发生了。
本研究旨在模拟Sod激波管的问题。任务是在实验条件下模拟正常激波在激波管内的传播，将得到的数值结果与流体流动模拟中广泛使用的PINN方法进行了比较。
为此，使用了二维激波管模型，它是由两个腔室组成的长金属管，由隔膜隔开。隔膜将高压区与低压区分开。隔膜移除后，激波和接触不连续开始向初始低压区域移动，稀薄波向初始高压区域移动。
问题中使用了两种不同的求解器:driver和driven。所用的腔室由两种具有高压比的气体组成。一个室充满高压理想气体，称为驱动器，而另一个室，反之亦然，是低压的，称为驱动器。所研究储层的示意图如图7所示。水库长度Lb = 1 m, Hb = 0.03 m。在建模时，在膜片中内置一个穿孔机构，在给定条件下使膜片破裂。当触点突然断裂时，就会产生一系列的压力波，从而产生冲击波。
任务采用结构化计算网格，其中元素总数为30,000，节点数为31,031。面网格= 1 × 10−3 m。计算任务的总时间为3000个时间步长。Ansys测试问题的初始条件如图8所示：
将数值结果与使用PINN方法获得的结果进行比较，可以识别方法的差异和每种方法的优点。前者提供了更平滑的解决方案并降低了计算复杂性，但可能不会突出一些物理效果，而后者允许更准确地建模物理过程，但可能需要更高的计算资源。
除了发生激波效应的区域外，速度、密度和压力指标的分布是相同的。并且，与Ansys数值模拟相比，可以更快地获得PINN仿真结果，这是一个明显的优势。
图9显示了PINN解与Ansys在不同x位置的精确解的比较：
可以观察到，虽然我们可以获得密度的精确结果，但我们对速度和压力进行精确预测的能力是有限的。这种限制是由于气流尚未到达激波和右边界之间的区域。
因此，试图将该区域的压力信息合并到可用的数据和方程中，将无法揭示期望区域内的实际压力和速度场。
结果表明，数值模拟更清晰地显示了激波效应，其中压力、速度和密度变化的边界在哪里。而PINN方法得到的结果更加平滑，因为使用的是神经网络，训练时考虑了问题的物理约束和条件。
这种变化可以使用不同的密度参数来监测。此外，通过流量分析，我们可以隐式检测堵塞的存在。这项工作的主要贡献是与以前的模拟方法相比，将PINN集成为更可靠和准确的堵塞识别方法。
综上所述，PINN方法和数值模拟在模拟物理过程中都起着至关重要的作用。研究人员和工程师必须仔细评估他们的问题的具体要求和限制，以确定最合适的方法。此外，计算方法的不断进步，包括神经网络的集成，继续扩大有效和准确地解决复杂物理问题的可能性。