离散傅里叶变换(DFT)有趣经验

这篇文章是受到一篇知乎文章启发下写出来的，但是原版文章有一些细节的错误，自己将自己的经验总结记录下来！

1. 实信号的DFT变换是共轭对称的

$$\begin{array}{rl}& X[N-k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j(2\pi /N)(N-k)n}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{j(-2n\pi +(2\pi /N)kn)}=\\ & \sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{j((2\pi /N)kn)}=X^{\ast }[k]\text{ 。}\end{array}$$

当然前提是 $x[n]$ 必须是实信号。

2. DFT变换后每个点代表的频率性质

不失一般性的，我们假设n为偶数

$$\begin{array}{rl}N\times x[n]=& \sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{j(2\pi /N)kn}=X[0]+X[1]e^{j(2n\pi /N)}+X[2]e^{j(2(2n\pi /N))}+\dots \\ & +X[N/2-1]e^{j(\frac{2n\pi }{N}(N/2-1))}+(-1{)}^{n}X[N/2]+X[N/2+1]e^{j(\frac{2n\pi }{N}(N/2+1))}+\dots \\ & +X[N-2]e^{j(\frac{2n\pi }{N}(N-2))}+X[N-1]e^{j(\frac{2n\pi }{N}(N-1))}\end{array}$$

我们假设 $X[k_c]=a_k+j{b}_k$，那么根据共轭的性质，我们有 $X[N-k_c]=a_k-j{b}_k$。显然 $X[k_c]$ 和 $X[N-k_c]$ 两个分割分量之和变为

$$\begin{array}{rl}& =(a_k+j{b}_k)e^{j(2\pi /N)k_{c}n}+(a_k-j{b}_k)e^{j(2\pi /N)(N-k_c)n}\\ & =2a_{k}cos(\frac{2k_{c}n\pi }{N})-2b_{k}sin(\frac{2k_{c}n\pi }{N})\\ & =2\sqrt{a_k^2+b_k^2}cos(\frac{2k_{c}n\pi }{N}+{\varphi }_k),\\ & =A_{k}cos(\frac{2k_{c}n\pi }{N}+{\varphi }_k),\end{array}$$

所以 $x(n)$ 可以表示成 $[1,2,...,N/2-1]$ 这些三角函数表示的频率分量与 $a_0$，即 $X[0]+(-1{)}^{n}X[\frac{N}{2}]$ 的和：

原文章中最大的问题其实就在这里，他错误地理解了 $a_0$ 的含义。

$$\begin{array}{rl}N\times x[n]=& a_0+A_{1}cos(n2\pi /N+{\varphi }_1)+A_{2}cos((2n)2\pi /N+{\varphi }_2)+A_{3}cos((3n)2\pi /N+{\varphi }_3)+\dots \\ & +A_{\frac{N}{2}-1}cos(((\frac{N}{2}-1)n)2\pi /N+{\varphi }_{\frac{N}{2}-1})\end{array}$$

我们不妨假设采样频率是 $f_s$，则 $x[n]=x(n{T}_s)=x(n/f_s)$。将 $x(t)$ 带入即可以得到

$$\begin{array}{rl}N\times x(t)=& X[0]+A_{1}cos(f_{s}2\pi t/N+{\varphi }_1)+A_{2}cos((2f_s)2\pi t/N+{\varphi }_2)+A_{3}cos((3f_s)2\pi t/N+{\varphi }_3)+\dots \\ & +A_{\frac{N}{2}-1}cos(((\frac{N}{2}-1)f_s)2\pi t/N+{\varphi }_{\frac{N}{2}-1})+A_{\frac{N}{2}}cos((\frac{N}{2}{f}_s)2\pi t/N+{\varphi }_{\frac{N}{2}})\end{array}$$

很明显可以看出，$X[k_c]$ 代表的频率分量是 $f=k_c{f}_s/N$。

注意上述的 $x(t)$ 只有在特定的时刻采取等号，其他时刻只能取到近似的等号。