排序算法之快速排序

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title: 快速排序
date: 2024-7-22 16:51:32 +0800
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  description: 快速排序（Quick Sort）是一种高效的排序算法，采用分治法策略，通过选择一个基准（pivot），将数组划分为两部分，然后递归地对两部分分别进行排序。
  math: true

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快速排序

快速排序（Quick Sort）是一种高效的排序算法，采用分治法策略，通过选择一个基准（pivot），将数组划分为两部分，然后递归地对两部分分别进行排序。快速排序有很多不同的版本，它们以不同的方式选择枢轴。

1. 总是选择第一个元素作为 pivot。
2. 总是选择最后一个元素作为 pivot。
3. 随机选一个元素作为 pivot。
4. 选择中值作为 pivot。

QuickSort 中的关键步骤是 partition()。在数组中选择的一个元素为支点（pivot）, 把所有小于 pivot 的元素放到 pivot 左面, 大于 pivot 的放右边。这样数组 x[n] 会被划分成3个部分：

• x[0] , ... , x[pivot - 1]
• x[pivot]
• x[pivot+1] , ... , x[n]

快速排序的原理

1. 选择基准：从数组中选择一个元素作为基准。
2. 分区：将数组分为两个部分，使得左边部分的所有元素都小于等于基准元素，右边部分的所有元素都大于等于基准元素。
3. 递归排序：递归地对基准元素左边和右边的部分进行排序。

快速排序的步骤

1. 选择基准元素：选择数组的最后一个元素作为基准元素。
2. 分区过程：
   • 初始化基准元素的正确位置索引 i 为 left - 1。
   • 遍历子数组，将小于或等于基准元素的元素移动到基准元素的左边。
   • 将基准元素放到正确的位置。
3. 递归排序：递归地对左边和右边的子数组进行排序。

图示

示例

//right = arr.lenght-1
public static int partition(int[] arr, int left, int right) {// 选择最右边的元素作为基准int pivot = arr[right];// 较小元素的索引并表示 // 到目前为止找到的枢轴的正确位置int i = left - 1;for (int j = left; j < right; j++) {// 如果当前元素小于或等于基准if (arr[j] <= pivot) {// 基准元素的正确位置向右移动i++;// 交换当前元素和基准元素swap(arr, i, j);}}// 将基准元素放到正确的位置swap(arr, i + 1, right);// 返回基准元素的位置return i + 1;}arr[] = {10, 80, 30, 90, 40, 50, 70} 
Indexes: 0   1   2   3   4   5   6 
low = 0, high = 6, pivot = arr[h] = 70
初始化较小元素的索引,i = -1从 j = low 到 high-1 遍历元素
j = 0 :由于 arr[j] <= pivot,执行 i++ 并交换(arr[i], arr[j])
i = 0 
arr[] = {10, 80, 30, 90, 40, 50, 70} //交换0,0 。 没有变化 相同j = 1 :由于 arr[j] > pivot,不执行任何操作  
i = 0 
arr[] = {10, 80, 30, 90, 40, 50, 70} // i 和 arr[] 没有变化j = 2 :由于 arr[j] <= pivot,执行 i++ 并交换(arr[i], arr[j])
i = 1
arr[] = {10, 30, 80, 90, 40, 50, 70} // 交换2,1 。交换 80 和 30 j = 3 :由于 arr[j] > pivot,不执行任何操作
i = 1
arr[] = {10, 30, 80, 90, 40, 50, 70}// i 和 arr[] 没有变化j = 4 :由于 arr[j] <= pivot,执行 i++ 并交换(arr[i], arr[j])
i = 2
arr[] = {10, 30, 40, 90, 80, 50, 70} // 交换4,2。交换 80 和 40 j = 5 :由于 arr[j] <= pivot,执行 i++ 并将 arr[i] 与 arr[j] 交换 
i = 3 
arr[] = {10, 30, 40, 50, 80, 90, 70} //交换5,3 。交换 90 和 50  此时j++=6 不符合<6的要求,退出循环.
最后我们通过交换将pivot放置在正确的位置
arr[i+1] 和 arr[right] (或pivot) 
arr[] = {10, 30, 40, 50, 70, 90, 80} //交换4,7。交换 80 和 70 现在 70 处于正确的位置.所有元素小于 70 在其之前,所有大于 70 的元素在其之后.

复杂度分析

时间复杂度为 $O(n\log n)$、自适应排序 在最坏的情况下，第 1 趟排序经过 $n-1$ 次比较以后，第 1个元素仍然确定在原来的位置上，并得到 1 个长度为 $n-1$ 的子数组。第 2 趟排序进过 $n-2$ 次比较以后，将第 2 个元素确定在它原来的位置上，又得到 1 个长度为 $n-2$ 的子数组。
最终总的比较次数为$(n-1)+(n-2)+\dots +1=\frac{n(n-1)}{2}$。
因此这种情况下的时间复杂度为 $O(n^2)$。

在最好的情况。如果每次我们选中的基准数恰好能将当前数组平分为两份，也就是刚好取到当前数组的中位数。每一次都将数组从 𝑛 个元素变为 $\frac{n}{2}$ 个元素。此时的时间复杂度公式为$T(n)=2T(\frac{n}{2})+\Theta (n)$。
解决这种关系式类型的标准数学归纳法技巧告诉我们结果为$T(n)=O(n\log n)$
事实上，并不需要把数列如此精确地分割；即使如果每个基准值将元素分开为99%在一边和1%在另一边，调用的深度仍然限制在$100\log n$，所以全部执行时间依然是 $O(n\log n)$。

而在平均情况下，我们可以从当前数组中随机选择一个元素作为基准数。这样，每一次选择的基准数可以看做是等概率随机的。其期望时间复杂度为 $O(n\log n)$，也就是平均时间复杂度。

空间复杂度为 $O(n)$、原地排序
空间复杂度主要是由于递归调用造成的栈空间使用。
在最坏情况下，递归的层数为n，此时空间复杂度为$O(n)$。
在平均情况下，递归的层数为$\log n$，此时空间复杂度为$O(\log n)$。

非稳定排序：在哨兵划分的最后一步，基准数可能会被交换至相等元素的右侧。

时间复杂度

• 最佳情况：$O(n\log n)$。
• 最坏情况：$O(n^2)$。
• 平均情况：$O(n\log n)$。

空间复杂度

• 最好情况：$O(\log n)$。
• 最坏情况：$O(n)$
• 平均情况：$O(\log n)$。

快速排序的代码实现（Java）

public class QuickSort {// 主排序函数public static void quickSort(int[] arr, int left, int right) {if (left < right) {// 找到基准元素的位置int pivotIndex = partition(arr, left, right);// 递归地排序基准元素左边的部分quickSort(arr, left, pivotIndex - 1);// 递归地排序基准元素右边的部分quickSort(arr, pivotIndex + 1, right);}}// 分区函数public static int partition(int[] arr, int left, int right) {// 选择最右边的元素作为基准int pivot = arr[right];// 较小元素的索引并表示 // 到目前为止找到的枢轴的正确位置int i = left - 1;for (int j = left; j < right; j++) {// 如果当前元素小于或等于基准if (arr[j] <= pivot) {// 基准元素的正确位置向右移动i++;// 交换当前元素和基准元素swap(arr, i, j);}}// 将基准元素放到正确的位置swap(arr, i + 1, right);// 返回基准元素的位置return i + 1;}// 交换函数public static void swap(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;}// 主函数public static void main(String[] args) {int[] arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};System.out.println("Given Array:");for (int num : arr) {System.out.print(num + " ");}System.out.println();// 调用快速排序函数quickSort(arr, 0, arr.length - 1);System.out.println("\nSorted Array:");for (int num : arr) {System.out.print(num + " ");}System.out.println();}
}